integrál ako limita integrálnych súčtov, príklad funkcie, ktorá nie je riemannovsky integrovateľná

2 Určitý integrál

2.1. Definícia určitého integrálu

Poznámka: Označenie určitého integrálu symbolom

pochádza od francúzskeho matematika Fouriera (Jean Baptiste Joseph Fourier, 1768 - 1830).

Existuje aj iné označenie, ktoré používal Euler (Leonard Euler, 1707 - 1783), a to

Samotný pojem "integrál" (z lat. integer - celý) zaviedol Johan Bernoulli.

Poznámka: V nasledovných riešeniach resp. návodoch na riešenie budeme často používať slovné spojenie "zvolíme deliace body intervalu (a; b) tak, aby tvorili aritmetickú (geometrickú) postupnosť". To znamená, že deliace body x_i (i = 1, 2, ... n) majú tvar

v prípade aritmetickej postupnosti, resp.

v prípade geometrickej postupnosti.

Hodnotu určitého integrálu dostaneme ako limitu integrálneho súčtu, t. j. platí

Tento limitný proces budeme pre jednoduchosť v riešeniach označovať symbolom "®".

Príklad. Vypočítajme na základe definície určitého integrálu:

(a)

Riešenie. Na intervale (a; b) zvolíme deliace body x_i tak, aby tvorili aritmetickú postupnosť. Potom pre integrálny súčet konštantnej funkcie dostávame

(b)

Riešenie. Výsledok získame použitím deliacich bodov tvoriacich geometrickú či aritmetickú postupnosť, tu je vhodné položiť v integrálnom súčte

Pre integrálne súčty v spomenutých prípadoch dostávame

(c)

Riešenie. Opäť môžeme použiť postupy riešenia ako v predošlom. Pritom budete potrebovať vzorec pre súčet štvorcov prvých n prirodzených čísel

Ak počítame tento integrál aj tretím spôsobom, zvolíme v integrálnom súčte

(d)

Riešenie. Opäť možno zvoliť delenie intervalu, ktoré je dané bodmi tvoriacimi aritmetickú postupnosť. Okrem už uvedených vzorcov na súčet prvých n prirodzených čísel, resp. ich kvadrátov, použijeme aj vzorec na súčet tretích mocnín prvých n prirodzených čísel

(e)

Riešenie. Deliace body intervalu (a; b) zvolíme tak, aby tvorili geometrickú postupnosť. Potom pre integrálny súčet platí

(f)

Riešenie. Interval (a; b) rozdelíme deliacimi bodmi, ktoré tvoria aritmetickú postupnosť. Potom dostávame

Pri výpočte limity integrálneho súčtu sme využili, že platí

(g)

Riešenie. Postupujeme analogicky ako v predchádzajúcom príklade. Ďalej využijeme, že

(h)

Riešenie. Zvolíme deliace body intervalu (a; b) tak, aby tvorili geometrickú postupnosť. Pre integrálny súčet potom dostávame

kde sme v závere výpočtu opäť využili, že platí

(i)

Riešenie. V integrálnom súčte položme

Dostaneme

(j)

Riešenie. Zvolíme deliace body intervalu (a; b) tak, aby tvorili aritmetickú postupnosť. Nech h = (b - a)/n. Potom

Pri úpravách sme využili vzorec pre súčin 2 sin x sin y.

(k)

Riešenie. Postupujeme analogicky ako v predošlom prípade. Dostaneme

kde sme využili vzťah pre súčin 2 cos x sin y.

(l)

Riešenie. Zvolíme deliace body intervalu (a; b) tak, aby vytvárali geometrickú postupnosť. Potom pre integrálny súčet dostávame

(m)

Riešenie. Dosť by sa to malo podobať s postupom pri funkcii sin x, naznačme to:

ZDROJ: matika.studnet.sk archived 5.6.2008