rovnosti a nerovnosti integrálov, veta o strednej hodnote, odhad integrálu

2.3. Nerovnosti určitých integrálov

Príklad. Dokážte, že pre dané integrály platí:

Riešenie. Nájdite primitívnu funkciu a využite Newton - Leibnizovu formulu.

Príklad. Odhadnite určitý integrál

Riešenie. Pre ľubovoľný určitý integrál platí

kde m (M) je minimum (maximum) funkcie f na intervale áa; bñ. Globálny extrém funkcie vieme nájsť metódami diferenciálneho počtu.

Vráťme sa k nášmu konkrétnemu integrálu. Pomocou derivácie teda zistíme, že najmenšiu hodnotu integrovaná funkcia nadobúda v čísle x = 1 a najväčšiu v čísle x = 2. Preto platí

Príklad. Dokážte, že platí

Riešenie. Pomocou derivácie zistíte, že integrand je klesajúca funkcia, preto najmenšiu funkčnú hodnotu nadobúda v pravom koncovom bode intervalu (a; b), t.j. b = p/2, a najväčšiu v ľavom koncovom bode a = p/4.

Príklad. Ohraničte integrál

Riešenie. Keďže 0,5 £ f(x) £ 1, dostaneme

Príklad. Ohraničte integrál

Riešenie. Keďže 0 £ sin² x £ 1, potom

Príklad. Dokážte, že daný integrál I možno ohraničiť uvedeným spôsobom. Nájdite aj presnú hodnotu integrálu I.

Riešenie. Dôkaz je podobný ako v predošlých príkladoch. Dodávame, že I = 2 arcsin (1/3).

Príklad. Porovnajte integrály:

Riešenie. Využite, že platí

Príklad. Dokážte, že platí

Riešenie. Návod v predošlom...

Príklad. Dokážte Buňakovského nerovnosť

Riešenie. Označme

Nech lÎR. Potom

a preto (využitím vety spomenutej v predchádzajúcom príklade) dostávame

resp. podľa nášho označenia

Táto nerovnosť je splnená, ak je diskriminant príslušnej kvadratickej rovnice nekladný, t. j. platí

Príklad. Nájdite strednú hodnotu µ funkcie f na danom intervale:

(a) f(x) = x(1 - x), [0; 1];

(b) f(x) = sin x, [0; p ];

(c) f(x) = sin² x, [0; p ];

Riešenie. Vy počítajte strednú hodnotu určitého integrálu podľa vzťahu

Číselné výsledky: (a) 1/6; (b) 2/p ; (c) 1/2; (d) 2 ln(6/5)

Príklad. Dokážte, že stredná hodnota funkcie spojitej na uzavretom intervale áa; bñ, je limita pre n ® ¥ z aritmetického priemeru hodnôt tejto funkcie v číslach a + k(b - a)/n, kde k = 0, 1, 2 ... n.

Riešenie. Napíšte strednú hodnotu a využite definíciu určitého integrálu.

Príklad. Profil žľabu má tvar parabolického úseku s dĺžkou základne a a hĺbkou b. Vypočítajte strednú hĺbku žľabu.

Riešenie. Načrtnite si obrázok parabolického žľabu. Do obrázku vhodne umiestnite súradnicovú sústavu a nájdite funkčný predpis paraboly. Potom nájdite strednú hodnotu tejto funkcie. Správny výsledok je 2b/3.

Príklad. Teleso padá z výšky h bez počiatočnej rýchlosti. Po prejdení dráhy s je jeho rýchlosť

Nájdite strednú rýchlosť telesa na tejto dráhe.

Riešenie. Strednú rýchlosť telesa dostaneme výpočtom strednej hodnoty určitého integrálu funkcie v = v(s).

Príklad. Nájdite strednú hodnotu napätia striedavého prúdu počas jednej periódy T, ak pre striedavé napätie e platí

Riešenie. e_s = 0. Vypočítajte strednú hodnotu uvedenej funkcie počas jednej periódy.

ZDROJ: matika.studnet.sk archived 5.6.2008