integrál ako funkcia hornej hranice, NL formula, substitúcia, per partes

2.4. Výpočet určitých integrálov

Príklad. Ukážte, že pre deriváciu funkcie f platí:

Riešenie. Využite, že platí

Príklad. Vypočítajte uvedené derivácie (resp. dokážte, že platia uvedené rovnosti):

Riešenie. Deriváciou prvých troch integrálov sú funkcie 0; - sin a² ; sin b² . Využite predošlý príklad.

Príklad. V ktorých číslach nadobúda extrémy funkcia

Riešenie. x = np, kde n = 1, 2, ... Využite známy postup na hľadanie extrémov z diferenciálneho počtu. Zistite aj to, v ktorých bodoch funkcia nadobúda maximum resp. minimum.

Príklad. Vypočítajte limity:

Riešenie. Stačí využiť l´Hospitallovo pravidlo. Výsledky: 1; p²/4; 0; 1; 1.

Príklad. Dokážte, že pre párnu funkciu f platí

Riešenie. Integrál vhodne rozdeľte a využite vhodnú substitúciu.

Príklad. Dokážte, že pre nepárnu funkciu f platí

Riešenie. Postupujte analogicky ako v predchádzajúcom príklade.

Iný postup: Nech je daná funkcia f, ktorá je párna alebo nepárna. Počítajme:

Príklad. Dokážte, že platí

Riešenie. Výsledky vyplývajú z predchádzajúcej úlohy.

Príklad. Dokážte, že pre periodickú funkciu f s periódou T platí

Riešenie. Využite, že platí

a súčasne v treťom integráli využite periodickosť funkcie, t. j. f(x) = f(x - T).

Príklad. Dokážte, že platí (a > 0):

Riešenie. Nájdite vhodné substitúcie.

Príklad. Odôvodnite, či môžeme priamo použiť Newton - Leibnizovu formulu na výpočet integrálov

Riešenie. Nie. V prvom aj druhom integráli nie sú integrand ani primitívna funkcia spojité na celom intervale, na ktorom integrujeme.

Príklad. Dokážte výpočtom, že platí:

Riešenie. Využite vetu o substitúcii pre dané určité integrály - nezabudnite na transformáciu hraníc integrálu. Platí totiž

Vypočítajme substitučnou metódou nasledovný príklad:

Príklad. Môžeme použiť substitúciu x = sin t na výpočet integrálu

Môžeme riešiť substitúciou t = tg x integrál

Riešenie. Nie (aké by boli hranice po substitúcii?).

Príklad. Vypočítajte integrál

kde M je množina všetkých hodnôt z intervalu á0; 4pñ, pre ktoré má uvedená odmocnina zmysel.

Riešenie. Najskôr nájdite hranice integrálu, potom ho rozdeľte na súčet viacerých (uvažujúc absolútnu hodnotu funkcie kosínus) a využite substitúciu. Potom I = 8/3.

Príklad. Dokážte, že pre dané určité integrály platí:

Riešenie. Použite metódu per partes pre určité integrály, t. j:

Príklad. Využitím Eulerovej formuly e^it = cos t + i sin t vypočítajte integrál

Riešenie. Využite vzorce na výpočet integrálov goniometrických funkcií. Zistíte, že platí

Príklad. Vypočítajte integrál

Riešenie. Postupujme metódou per partes:

Ak uvažujeme aj hranice, dostaneme rekurentný vzorec:

Potom

Príklad. Vypočítajte integrál

Riešenie. Využijeme vzťah medzi funkciami sínus a kosínus a predchádzajúci príklad. Totiž po úprave dostaneme

Príklad. Vypočítajte integrál

Riešenie. Využijeme, že platí

Pre integrál I_n potom dostávame rekurentný vzorec

Príklad. Určte hodnotu Eulerovho integrálu

Riešenie. Dobré by bolo využiť metódu per partes a už to pôjde... Najmä ak položíte u´ = x^m. Časom zistíte, že

Príklad. Vypočítajte integrál (n ³ 0)

Riešenie. Ukážme niečo z postupu:

Tj. výsledok môžeme zapísať v tvare

Príklad. Vypočítajte integrál

Riešenie. Tu by nemal byť žiadny problém, skúste sa dopracovať k takémuto vzorcu:

ZDROJ: matika.studnet.sk archived 5.6.2008