výpočet obsahu, objemu, dĺžky krivky a povrchu telesa

Aplikácie určitého integrálu I

Poznámka. Bez zbytočných vysvetlení na úvod uvedieme vzorce, ktoré budú potrebné v tejto časti zbierky. Inteligemtný čitateľ pochopí, ktorý vzorec slúži na výpočet obsahu elementárnej oblasti, objemu rotačného telesa, dĺžky krivky resp. povrchu rotačného telesa.

Obsah rovinného útvaru

Poznámka. Obsah útvaru ohraničeného osou o_x a nekladnou funkciou f(x) vychádza pomocou určitého integrálu záporné číslo, preto sa niekedy formula pre výpočet obsahu udáva v tvare:

Príklad. Nájdite obsah útvaru ohraničeného grafom f(x) = x³ + x² - 6x a osou o_x na intervale á– 3; 3ñ.

Riešenie. Načrtnite graf danej funkcie. Potom je zrejmé, že pre hľadaný obsah platí

Príklad. Nájdite obsah útvaru ohraničeného sínusoidou a osou o_x na intervale á0; 2pñ.

Riešenie. Načrtnite graf funkcie sínus. Integrál potom vhodne rozdeľte (resp. využite absolútnu hodnotu). Dostanete P = 4.

Príklad. (a) Nájdite obsah útvaru P ohraničeného krivkou x = 2 - y - y² a osou o_y. (b) Nájdite obsah útvaru P^* ohraničeného parabolami 4x = y², x³ = 8y a priamkami y = 1, y = 6.

Riešenie. V integráloch nastane malá zmena - zmeníme premennú:

Príklad. Nájdite obsah útvaru ohraničeného krivkami y = 2 - x² a y³ = x².

Riešenie. Po nájdení priesečníkov daných kriviek dostaneme:

Príklad. Nájdite obsah elementárnej oblasti ohraničenej čiarami: (a) y = x³, y = 1 a x = 2; (b) y² = x a y = x³; (c) y = x⁴ a y = x.

Riešenie. Pre hľadané obsahy platí

Príklad. Nájdite obsah elementárnej oblasti ohraničenej čiarami: (a) parabolou 4y = 8x - x² a priamkou 4y = x + 6; (b) parabolami y = 4 - x² a y = x² - 2x; (c) kubickými parabolami 6x = y³ - 16y a 24x = y³ - 16y.

Riešenie. Pre hľadané obsahy platí

Príklad. Nájdite obsah elementárnej oblasti ohraničenej grafmi funkcií y = e^x, y = e^x a priamkou x = 1.

Riešenie. Po načrtnutí obrázka zistíme, že pre hľadaný obsah platí

Príklad. Nájdite obsah útvaru, ktorý vznikne prienikom vnútorných oblastí parabol y² = 2px a x² = 2py, kde p > 0.

Riešenie. Načrtnime si dané paraboly a určime ich spoločné body. Priesečníkmi sú body O[0; 0] a T[2p; 2p]. Potom pre hľadaný obsah platí

Príklad. Nájdite obsah obrazca, ktorý leží v prvom kvadrante a je ohraničený krivkami y² = x a y² = 8x - x².

Riešenie. Pre hľadaný obsah platí

Príklad. Vypočítajte obsah elementárnej oblasti ohraničenej grafmi funkcií y = x² a y = 2 / (1 + x²).

Riešenie. Daná oblasť je súmerná podľa y - ovej osi, vypočítajme teda polovicu obsahu:

Príklad. Nech je daná elipsa

Bod M leží na elipse (v 1. kvadrante), bod N je kolmý priemet bodu M na os o_x , bod P je prienik elipsy a osi o_y a bod S je stred elipsy. Nájdite obsahy útvarov SNMP a SMP.

Riešenie. Predpokladáme, že náčrt opísanej situácie čitateľ zvládne. Nech bod M má súradnice M[x, y], pričom x a y sú viazané rovnicou elipsy. Potom pre obsah prvého útvaru platí:

(Pre x = a zrejme dostaneme štvrtinu obsahu celej elipsy)

Obsah útvaru SMP získate ľahko z vyššie uvedeného výsledku.

Príklad. Nájdite obsah obrazca ohraničeného parabolou y = - x² + 4x - 3 a jej dotyčnicami v bodoch A[0; - 3] a B[3; 0].

Riešenie. Rovnice hľadaných dotyčníc sú y = 4x + 3 resp. y = - 2x + 6. Ich priesečníkom je bod C[3/2; 3]. Potom stačí obrazec vytvorený uvedeným spôsobom vhodne rozdeliť a dostanete výsledok P = 9/8.

Príklad. Vypočítajte obsah elementárnej oblasti určenej kubickými parabolami 6x = y³ - 16y a 24x = y³ - 16y.

Riešenie. Zrejme sa hodnota obsahu nezmení, ak osi x a y navzájom zameníme. Potom už len stačí nájsť spoločné body parabol, ktorými sú T[- 4; 0], U[0; 0], V[4; 0], a po vhodnom rozdelení obrazca (na dve zhodné časti) dostaneme obsah P = 16.

Príklad. Nájdite vzorec na výpočet obsahu kruhového výseku (ak je polomer kruhu r) prislúchajúcemu stredovému uhlu a.

Riešenie. Čitateľovi opäť pri riešení úlohy pomôže náčrt. Pre hľadaný obsah potom platí

Objem telesa

Príklad. Nájdite vzorec na výpočet objemu gule (kužeľa).

Riešenie. Guľa vznikne rotáciou kružnice (zrejme za jej stred zvolíme bod O[0; 0]). Potom

Kužeľ zrejme vznikne rotáciou úsečky y = kx. Vzorec na výpočet objemu kužeľa, tj. výsledok, ktorý máte dostať, poznáte.

Príklad. Vypočítajte objemy telies, ktoré vzniknú rotáciou časti sínusoidy ( xÎá0; pñ ) okolo osi a) o_x ; b) o_y .

Riešenie. Musíme využiť dva vzorce - pre výpočet objemu V_X rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou krivky okolo osi o_x a vzťah na výpočet objemu V_Y rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou krivky okolo osi o_y. Potom

Príklad. Vypočítajte objem telesa, ktoré vznikne rotáciou elementárnej oblasti ohraničenej čiarami y² = 2px a x = a.

Riešenie. Objem telesa V = ppa².

Príklad. Vypočítajte objem telesa ohraničeného plochami, ktoré vzniknú rotáciou parabol y = 1 - x², y = x² + 2 a priamok x = - 1, x = 1 okolo x - ovej osi.

Riešenie. Vzniknuté teleso je súmerné podľa y - ovej osi, stačí nám teda počítať polovicu objemu:

Príklad. Vypočítajte objem elipsoidu, kt. vznikne rotáciou elipsy

okolo osi o_x .

Riešenie. Pre objem elipsoidu dostaneme

(V prípade, že a = b, by sme odvodili vzorec na výpočet objemu gule.)

Príklad. Vypočítajte objem anuloidu - telesa, ktoré vznikne rotáciou kružnice x² + (y - b)² = a² okolo osi o_x.

Riešenie. Vypočítame objem telesa, ktoré vznikne rotáciou hornej časti kružnice

a pripočítame objem, ktorý vznikne rotáciou dolnej časti uvedenej kružnice

Navyše, namiesto integrovania na intervale á– a; añ zoberieme dvojnásobok integrálov na intervale á0; añ. Teda počítajme:

Príklad. Nájdite objem telesa, ktoré vznikne na intervale á0; bñ rotáciou reťazovky

Riešenie. Pre hľadaný objem telesa dostávame

Dĺžka krivky

Príklad. Nájdite dĺžku krivky y = x^3/2 od začiatku súradnicovej sústavy po bod B[4; 8].

Riešenie. Po jednoduchom dosadení do vzorca na výpočet dĺžky krivky dostaneme d = 8.(10.10^1/2 - 1) / 27.

Príklad. Vypočítajte dĺžku krivky y = cosh x pre xÎá0; 3ñ.

Riešenie. Dosadíme do vzorca, d = sinh 3.

Príklad. Vypočítajte dĺžku reťazovky y = a cosh (x/a) na intervale á0; bñ.

Riešenie. Po dosadení do vzorca dostaneme d = a sinh (b/a).

Príklad. Vypočítajte dĺžku grafu funkcie y = ln cos x na intervale á0; p/3ñ.

Riešenie. Využitím vzorca dostaneme

Príklad. Nájdite dĺžku oblúka krivky y = x² / 4 - (ln x) / 2 na intervale (1; e).

Riešenie. Po dosadení máme

Príklad. Nájdite vzorec na výpočet dĺžky kružnice s polomerom r.

Riešenie. Kružnicu zrejme umiestnime tak, aby jej stred ležal v začiatku súradnicovej sústavy. Jej rovnica je potom x² + y² = r². Odtiaľ vyjadríme y, nájdeme y´ a dosadíme. Pre jednu štvrtinu dĺžky kružnice dostávame

Príklad. Vypočítajte dĺžku astroidy x^2/3 + y^2/3 = a^2/3.

Riešenie. Astroida je symetrická krivka, bude nám stačiť počítať jednu štvrtinu jej dĺžky:

Príklad. Vypočítajte obvod útvaru, ktorý je ohraničený krivkami y³ = x² a v² = 2 - u².

Riešenie. Najskôr si načrtnite dané krivky. Potom pre obvod nimi ohraničeného útvaru platí

Príklad. Vypočítajte dĺžku krivky y na intervale áa; bñ, ak

Riešenie. Po dosadení do vzorca dostaneme d = ln (sinh b / sinh a).

Povrch telesa

Príklad. Vypočítajte povrch guľového pása, ktorý vznikne rotáciou časti kružnice x² + y² = r², y > 0, na intervale á– a; añ okolo osi o_x, pričom 0 < a < r.

Riešenie. S = 2par (pre a = 2r dostaneme povrch gule).

Príklad. Vypočítajte povrch telesa, ktoré vznikne rotáciou krivky y = x³ na intervale á-2/3; 2/3ñ okolo osi o_x.

Riešenie. Po dosadení do vzorca dostávame S = 2p(125/27 - 1)/27.

Príklad. Vypočítajte povrch telesa, ktoré vznikne rotáciou reťazovky y = a cosh (x/a) okolo osi o_x na intervale ác; dñ.

Riešenie. Pre hľadaný povrch platí

Príklad. Vypočítajte povrch paraboloidu, ktorý vznikne rotáciou paraboly y² = 2px okolo osi o_x na intervale á0; añ.

Riešenie. Po dosadení a malých úpravách počítame integrál

Príklad. Vypočítajte povrch telesa, ktoré vznikne rotáciou paraboly 9y² = x(3 - x)² okolo osi o_x.

Riešenie. Po nájdení explicitného vyjadrenia hornej vetvy paraboly a prieniku s osou o_x dostaneme:

Príklad. Vypočítajte povrch rotačnej plochy, ktorá vznikne rotáciou funkcie y = tg x na intervale á0; p/4ñ.

Riešenie. Po dosadení dostaneme integrál

ZDROJ: matika.studnet.sk archived 5.6.2008