výpočet P, V, d, S telies pri krivkách daných parametricky (v polárnych súradniciach)

Aplikácie určitého integrálu II

Poznámka. Na úvod tejto kapitoly opäť uvedieme vzorce, ktoré tu budeme potrebovať. A síce ide o formuly na výpočet obsahu elementárnej oblasti, objemu rotačného telesa, dĺžky krivky a povrchu rotačného telesa pre krivky dané parametricky resp. v polárnych súradniciach.

Krivky dané parametricky

Obsah rovinného útvaru

Poznámka. Naznačíme odvodenia vzorca na výpočet obsahu útvaru pod krivkou danou parametricky.

Ak je funkcia daná explicitne, pre obsah krivočiareho lichobežníka na nejakom intervale áa; bñ platí

Ak máme túto krivku danú parametricky rovnicami x = j(t), y = y(t), hneď dostaneme

kde u resp. v sú hodnoty, medzi ktorými sa pohybuje parameter t, keď sa pohybujeme po krivke ohraničujúcej (zhora) lichobežník v smere zľava doprava (resp. pohybujeme sa po krivke v smere hodinových ručičiek).

Predpokladáme, že y = y(t) je nezáporná funkcia. Napriek tomu môže byť uvedený integrál rovný nejakému zápornému číslu. Totiž, jeho kladnú či zápornú hodnotu ovplyvňuje aj funkcia x = j´(t). Preto musíme vyššie uvedenú formulu pre výpočet obsahu písať v tvare

kde j(a) = a; j(b) = b.

"Problémov" so znamienkami sa zbavíme aj v prípade, že hľadaný vzorec napíšeme v tvare

Príklad. Nájdite vzorec na výpočet obsahu elipsy.

Riešenie. Elipsa má parametrické vyjadrenie x = a cos t, y = b sin t; tÎá0; 2pñ. Potom pre jej obsah platí:

Alebo jednoduchšie:

Poznámka. Samozrejme, že pri riešení nám veľmi pomôže geometrická predstava elipsy resp. jej náčrt. Čitateľ si tak uvedomí, že nemusí počítať celý obsah, ale napríklad jeho polovicu či štvrtinu. Často sa týmto postupom zjednoduší výpočet integrálu či výpočet samotného obsahu. Teraz sme mohli napríklad mohli využiť, že platí:

(V prípade, že a = b dostávame kružnicu, a tým aj známy vzorec na výpočet obsahu kruhu.)

Príklad. Nájdite obsah plochy ohraničenej cykloidou x = a(t - sin t), y = a(1 - cos t); tÎá0; 2pñ.

Riešenie. Priamo po dosadení dostávame

Príklad. Nájdite obsah plochy ohraničenej asteroidou x = a cos³ t, y = a sin³ t; kde tÎá0; p/2ñ.

Riešenie. Vzhľadom na symetrickosť asteroidy môžeme počítať jednu štvrtinu hľadaného obsahu.

Objem telesa

Príklad. Nájdite objem telesa, ktoré vznikne rotáciou cykloidy x = a(t - sin t), y = a(1 - cos t); tÎá0; 2pñ okolo osi o_x.

Riešenie. Po dosadení dostaneme

Príklad. Nájdite objem telesa, ktoré vznikne rotáciou asteroidy x = a cos³ t, y = a sin³ t; kde tÎá0; p/2ñ, okolo osi o_x.

Riešenie. Funkcia y = y(t) je nezáporná, deriváciu funkcie x = j(t) tiež ľahko nájdeme. Potom

Dĺžka krivky

Poznámka. Naznačíme odvodenie vzorca pre výpočet dĺžky krivky danej parametricky.

Ak máme funkciu danú explicitne, pre dĺžku krivky na intervale áa; bñ platí

Ak "umiestnime" diferenciál dx pod odmocninu, dostaneme

kde body A, B označujú začiatok resp. koniec oblúka AB.

Nech parametrické rovnice našej krivky sú

x = j(t), y = y(t)

a čísla a, b sú tie hodnoty parametra t, ktoré odpovedajú začiatku resp. koncu našej krivky (a < b).

Potom pre dĺžku tejto krivky platí

Príklad. Nájdite vzorec na výpočet dĺžky kružnice.

Riešenie. Kružnica ja parametricky daná rovnicami x = r cos t, y = r sin t; kde tÎá0; 2pñ. Potom pre jej dĺžku platí

Príklad. Vypočítajte dĺžku oblúka cykloidy x = a(t - sin t), y = a(1 - cos t); tÎá0; 2pñ.

Riešenie. Po dosadení máme

Príklad. Vypočítajte dĺžku oblúka asteroidy x = a cos³ t, y = a sin³ t; kde tÎá0; p/2ñ.

Riešenie. Opäť stačí dosadiť do vzorca, dostaneme d = 6a.

Príklad. Vypočítajte dĺžku oblúka krivky danej rovnicami x = a(cos t + ln tg (t/2)), y = a sin t; kde tÎáp/2; 5p/6ñ.

Riešenie. Po dosadení (a správnom výpočte integrálu) dostaneme d = - a ln (1/2).

Povrch telesa

Príklad. Vypočítajte povrch telesa, ktoré vznikne rotáciou kružnice x = a cos t, y = a sin t.

Riešenie. Zrejme už teraz poznáme výsledok - mali by ním byť vzorec na výpočet objemu gule. Ale overme si to. Počítajme:

Príklad. Vypočítajte povrch rotačnej plochy, ktorá vznikne rotáciou cykloidy x = a(t - sin t), y = a(1 - cos t); tÎá0; 2pñ.

Riešenie. Po dosadení do vzorca dostaneme:

Príklad. Vypočítajte povrch telesa, ktoré vznikne rotáciou asteroidy x = a cos³ t, y = a sin³ t; kde tÎá0; p/2ñ.

Riešenie. Vypočítajme polovicu hľadaného povrchu:

Funkcie dané v polárnych súradniciach

Obsah rovinného útvaru

Príklad. Nájdite obsah obrazca ohraničeného krivkou r = a cos j, kde jÎá- p/2; p/2).

Riešenie. Daná krivka je kružnica s priemerom a (dĺžka sprievodiča sa totiž rovná dĺžke odvesny pravouhlého trojuholníka zostrojeného nad preponou a). Výpočtom teda dostaneme známy vzorec na výpočet obsahu kruhu:

Príklad. Nájdite obsah časti roviny ohraničenej krivkou r = 4 sin² j, kde jÎá0; pñ.

Riešenie. Po dosadení do vzorca dostaneme P = 3p.

Príklad. Nájdite obsah obrazca ohraničeného krivkou r = a |sin 2j|, jÎá0; 2pñ.

Riešenie. Daná krivka vytvára štyri rovnaké slučky (v karteziánskej súradnicovej sústave je každá umiestnená v jednom kvadrante), preto nám stačí počítať jednu štvrtinu obsahu.

Príklad. Nájdite obsah časti roviny ohraničenej jedným závitom Archimedovej špirály r = aj, kde jÎá0; 2pñ.

Riešenie. Ľahko nahliadneme, že pre obsah tohto útvaru platí

Príklad. Nájdite obsah časti roviny ohraničenej krivkou r = a cos 3j, jÎá0; 2pñ (tzv. "trojlístková ruža").

Riešenie. Vzhľadom na symetriu tohto útvaru nám stačí vypočítajme jednu šestinu hľadaného obsahu.

Príklad. Nájdite obsah časti roviny ohraničenej kardioidou r = a(1 + cos j), jÎá0; 2pñ.

Riešenie. Stačí dosadiť do vzorca, P = 3a²p/2.

Príklad. Nájdite obsah časti roviny ohraničenej Bernoulliho lemniskátou

Riešenie. Daná krivka je symetrická, a preto nám stačí počítať štvrtinu hľadaného obsahu:

Objem telesa

Príklad. Nájdite objem telesa, ktoré vznikne rotáciou kardioidy r = a(1 + cos j), jÎá0; pñ, okolo polárnej osi.

Riešenie. Stačí nám dosadiť do vzorca:

Príklad. Nájdite objem telesa, ktoré vznikne rotáciou krivky r = a sin 2j, jÎá0; pñ, okolo polárnej osi.

Riešenie. Po dosadení a úprave integrálu dostávame:

Dĺžka krivky

Poznámka. Naznačíme odvodenie vzorca na výpočet dĺžky krivky danej v polárnych súradniciach.

Majme krivku danú rovnicou

r = r(j)

Táto krivka má parametrické vyjadrenie

x = r(j) cos j , y = r(j) sin j.

Keďže pre dĺžku krivky platí (ako sme zistili pri krivke danej parametricky)

vyjadrime

Po dosadení dostávame

kde a, b (a < b) odpovedajú začiatočnému (A) resp. koncovému bodu krivky (B).

Príklad. Nájdite vzorec na výpočet obvodu kruhu.

Riešenie. Rovnica kružnice je v polárnych súradniciach r = k, kde k je kladná konštanta. Obvod kruhu potom už ľahko nájdete.

Príklad. Nájdite dĺžku Archimedovej špirály r = aj po ľubovoľný bod M, ktorý odpovedá uhlu j.

Riešenie. Po dosadení dostaneme

Príklad. Vypočítajte dĺžku oblúka kardioidy r = 2a(1 + cos j), jÎá0; 2pñ.

Riešenie. Počítajme:

Príklad. Nájdite dĺžku krivky r = a sin³(j / 3), jÎá0; 3pñ.

Riešenie. Stačí nám dosadiť do vyššie uvedeného vzorca. Dostaneme:

Príklad. Vypočítajte dĺžku hyperbolickej špirály r = 1/j medzi bodmi A[2; 0,5] a B[0,5; 2].

Riešenie. Pre hľadanú dĺžku krivky platí

Povrch telesa

Príklad. Vypočítajte povrch rotačnej plochy, ktorá vznikne rotáciou kardioidy r = 2a(1 + cos j), jÎá0; pñ, okolo polárnej osi (a > 0).

Riešenie. Funkcia r(j) je nezáporná, jej deriváciu tiež ľahko nájdeme. Potom pre hľadaný povrch platí:

ZDROJ: matika.studnet.sk archived 5.6.2008