Newtonov resp. Riemannov integrál

2.7. Newtonov a Riemannov integrál

Príklad. Dokážte, že funkcia f je riemannovsky integrovateľná, ale. nie je newtonovsky integrovateľná.

Riešenie. Funkcia f je na intervale á-1; 1ñ ohraničená a má na tomto intervale konečný počet bodov nespojitosti. Preto je na tomto intervale riemannovsky integrovateľná. Pre jej Riemannov integrál platí

Ešte musíme dokázať, že táto funkcia nemá primitívnu funkciu, t. j. nemôže byť newtonovsky integrovateľná.

Hľadajme primitívnu funkciu k funkcii f. Pre kladné (záporné) čísla jej predpis zrejme musí vyzerať nasledovne (c, kÎR):

Zostáva určiť F(0). Keďže primitívna funkcia musí byť spojitá (pretože je diferencovateľná), musí platiť

Z definície primitívnej funkcie má platiť

Potom

Dostali sme teda spor. Primitívna funkcia k funkcii f preto neexistuje a funkcia f nemôže byť newtonovsky integrovateľná.

Príklad. Dokážte, že funkcia f je newtonovsky integrovateľná a súčasne nie je riemannovsky integrovateľná.

Riešenie. Dokážeme, že f je newtonovsky integrovateľná, tj. musíme k nej nájsť primitívnu funkciu na intervale á-1; 1ñ. Touto funkciou je

Totiž, pre x ¹ 0 platí

Ďalej, pre x = 0 platí

Ľahko nahliadnete, že platí

F¢_-(1) = f(1) a súčasne F¢₊(-1) = f(-1),

funkcia F je teda skutočne primitívnou funkciou k funkcii f na intervale á-1; 1ñ.

Potom pre Newtonov určitý integrál dostávame

Teraz ešte musíme ukázať, že funkcia f nie je riemannovsky integrovateľná.

Funkcia f riemannovsky integrovateľná nemôže byť, pretože v okolí V(0) bodu a = 0 nie je ohraničená. Dokážme to.

Zoberme postupnosť

Zrejme pre n ® ¥ platí a_n ® 0.

Vyjadrime podiel

a počítajme

Teda pre a_n ® 0 platí

t. j. funkcia f nie je v okolí V(0) ohraničená, a preto nemôže byť riemannovsky integrovateľná.

Príklad. Nájdite príklad funkcie, ktorá nie je integrovateľná.

Riešenie. Vyšetrime integrovateľnosť Dirichletovej funkcie

Táto funkcia je „v tvare skoku“ (t. j. nemá Darbouxovu vlastnosť nadobúdať všetky hodnoty z intervalu určeného ľubovoľnými dvoma funkčnými hodnotami), preto nie je deriváciou žiadnej funkcie. Inak povedané, funkcia c nemá primitívnu funkciu. Dirichletova funkcia teda nie je newtonovsky integrovateľná. Fakt, že nie je ani riemannovsky integrovateľná, dokážeme podrobnejšie.

Zoberme ľubovoľný interval áa; bñ a definujme na ňom nejaké delenie D. Potom pre dolný integrálny súčet prislúchajúci funkcii c a deleniu D platí

pre horný integrálny súčet prislúchajúci funkcii c a deleniu D zase platí

pričom sme použili označenie

Ďalej, pre dolný resp. horný integrál funkcie c potom platí

Keďže interval áa; bñ má zrejme nenulovú dĺžku, platí

a preto funkcia c nie je riemannovsky integrovateľná.

Príklad. Rozhodnime sa, že funkcia ¦(x) je absolútne integrovateľná na intervale áa; bñ, tj. – medzi nami – existuje integrál

Musí byť potom funkcia ¦ integrovateľná?

Riešenie. Jasné, že nie, keď sa pýtam... Kontrapríklad:

Príklad. Nech funkcie ¦ a g sú integrovateľné na intervale á0; 1ñ. Musí potom byť integrovateľná aj zložená funkcia ¦[g(x)] ?

Riešenie. Samozrejme, že nie. Ak totiž máme takéto dve vtipné funkcie f, g (resp. ich zúženie na interval á0; 1ñ):

zdá sa, že potom zloženou funkciou ¦[g(x)] je Dirichletova funkcia c, ktorá ani veľmi nie je integrovateľná...

ZDROJ: matika.studnet.sk archived 5.6.2008