nevlastný integrál

Nevlastné integrály

Poznámka: Rozlišujeme nevlastné integrály dvoch druhov: I. druhu - interval, na ktorom integrujeme, je neohraničený; II. druhu - integrovaná funkcia je v danom intervale neohraničená.

Príklad. Dokážte výpočtom, že pre nasledovné nevlastné integrály platí:

Riešenie. Ukážeme výpočet nevlastných integrálov oboch druhov.

Nech je daná daná funkcia f, ktorá je spojitá na intervale (a; ¥). Nech funkcia F je na tomto intervale primitívna k funkcii f. Potom pre nevlastný integrál (kde integrujeme na intervale nekonečnej dĺžky) platí

Ukážeme tento postup na konkrétnom príklade.

Nech je daná na intervale (a; b) spojitá funkcia f, ktorá je neohraničená v ľubovoľnom ľavom okolí bodu b. Nech funkcia F je na tomto intervale primitívna k funkcii f. Potom pre nevlastný integrál (kde integrujeme neohraničenú funkciu) platí

Uvedieme konkrétny príklad.

V prípade, že nevlastný integrál obsahuje viacero singulárnych bodov, musíme ho rozdeliť na viacero integrálov tak, aby každý obsahoval len jeden "problematický" bod. Napr.

Integrály I₁, I₂, I₃ už vieme vypočítať vyššie uvedeným spôsobom.

Príklad. Nájdite obsah plochy ohraničenej priamkami x = a, x = b (a <>b) a krivkou

Riešenie. Vzorec na výpočet obsahu poznáte, ale integrál budete musieť rozdeliť na dva

Príklad. Zdôvodnite, či je správny nasledovný výpočet:

Riešenie. Výpočet nie je správny, integrovaná funkcia totiž nie je na danom intervale ohraničená.

ZDROJ: matika.studnet.sk archived 5.6.2008