def. obory, limita, spojitosť funkcie viacerých premenných

Limita a spojitosť funkcie viacerých premenných

Príklad. Nájdite definičné obory funkcií viacerých premenných (načrtnite ich):

z = x - 2y z = ln (x + y) V = xyz (objem kvádra)

u = arcsin (x + y)

Riešenie. Riešenia neuvádzame. Téma elementárne funkcie resp. určovanie definičných oborov funkcií je totiž tak dôležitá (a elementárna) v celej matematickej analýze, že o jednotlivých riešeniach nesmiete mať žiadne pochybnosti!

Príklad. Výpočtom dokážte, že platí:

Riešenie. Uvedieme isté všeobecné postupy ako počítať limity funkcií viacerých premenných.

Obyčajne sa najskôr pokúsime o jednoduché "dosadenie" - ak je výsledkom reálne číslo, s výpočtom sme hotoví.

Samozrejme, ťažkosti nastanú pri "neurčitých" typoch limít, napr. "0/0". Pokiaľ je to možné, snažíme sa využívať rôzne vzorce (na odstránenie odmocnín, získanie známych limít - goniometrických, exponenciálnych...) tak, aby sme sa nášho problému zbavili.

Ak ani druhá cesta nevedie k výsledku, "blížime" sa k bodu, v ktorom limitu počítame po rôznych krivkách, pričom by sme mali dostávať rovnaké výsledky (aj keď touto cestou sa skôr dokazuje neexistencia limity). Pritom najčastejšie využívame substitúciu do polárnych súradníc:

Ako som už naznačil, pokiaľ výsledok závisí od uhla j, počítaná limita neexistuje.

Ďalšou substitúciou vyjadrujeme, že sa k bodu, v ktorom limitu počítame, "blížime" po všetkých priamkach:

Vypočítajme oboma spôsobmi nasledovnú limitu:

Výsledok závisí od uhla j (resp. od a, b), preto uvedená limita neexistuje.

Taktiež môžeme použiť iné vhodné substitúcie (krivky), ktoré nás privedú k výsledku (napr. y = kx, y = kx²...). Počítajme:

Vidíme, že ak sa k bodu O[0; 0] blížime po rôznych parabolách, dostávame rôzne výsledky, teda počítaná limita neexistuje.

Fakt, že nejaká limita neexistuje, môžeme ukázať aj pomocou tzv. opakovaných limít. Ak máme dvojnú limitu

opakovanými limitami nazývame limity

Aby existovala uvedená dvojná limita, opakované limity musia existovať a byť rovnaké (z ich rovnosti však existencia pôvodnej limity nevyplýva!). Ak opakované limity existujú a sú rôzne , limita funkcie v danom bode neexistuje.

Vypočítajme nasledovné opakované limity:

Na základe vyššie uvedených tvrdení je jasné, že neexistuje limita

Poznámka. Počítať limity funkcií viacerých premenných však môžeme aj využitím ďalších viet o limitách funkcií. Uvedieme dve ukážky:

Ukážka 1.

Tvrdíme, že platí

Ak totiž upravíme danú funkciu, dostaneme

Naše tvrdenie teraz vyplýva z vety o limite súčinu ohraničenej funkcie a funkcie konvergujúcej k nule.

Ukážka 2.

Tvrdíme, že platí

Našu funkciu je možné ohraničiť nasledovným spôsobom:

Keďže funkcie f(x, y) aj g(x, y) konvergujú k číslu 0, aj naša limita musí konvergovať k číslu 0.

Poznámka. Dôkaz faktu, že nejaká limita neexistuje, môžeme urobiť aj pomocou Heineho definície limity. Tj. nájdeme dve konkrétne postupnosti konvergujúcich k bodu A, v ktorom limitu počítame, pre ktoré sú limity funkčných hodnôt rôzne.

Príklad. Dokážte, že neexistuje limita

Riešenie. Ak zoberieme postupnosti

potom pre postupnosti ich funkčných hodnôt platí

Odtiaľ hneď vyplýva, že daná limita neexistuje.

Príklad. Vypočítajte opakované limity:

Riešenie. Výsledky oboch opakovaných limít sú uvedené.

Príklad. Ak sa opakované limity rovnajú, limita funkcie nemusí existovať. Ukážte to na nasledovných príkladoch:

Riešenie. Fakt, že prvá limita neexistuje, môžete dokázať substitúciou do polárnych či parametrických súradníc. V druhom prípade môžete dokázať, že táto limita neexistuje, napr. aj pomocou Heineho definície - zvoľte postupnosti [1/k; 1/k] a [1/k; - 1/k].

Príklad. Nech je daná funkcia

Dokážte, že opakované limity neexistujú, napriek tomu existuje limita

Príklad. Vyšetrite spojitosť funkcií:

Riešenie. Za znakom implikácií máte uvedené obory spojitosti daných funkcií. Doplňme ešte definíciu spojitosti - funkcia f viacerých premenných je v bode A spojitá, ak platí

Príklad. V akých prípadoch nebude funkcia F viacerých premenných spojitá v nejakom bode A? Uveďte príklady.

Riešenie. (1) Funkcia F je definovaná v okolí bodu A, ale nie je definovaná v samotnom bode A. Napr.:

(2) Funkcia F je definovaná v okolí bodu A i v samotnom bode, no v bode A neexistuje limita funkcie F v bode A. Napr.:

(3) Funkcia F je definovaná v okolí bodu A i v samotnom bode, existuje limita funkcie v bode A, ale táto limita je rôzna od funkčnej hodnoty F(A). Napr.:

Príklad. Pre funkciu jednej premennej platí veta: Ak funkcia ¦ má v bode a deriváciu, tak je v tomto bode spojitá. Možno túto vetu zovšeobecniť pre funkciu viacerých premenných – tj. ak existujú všetky parciálne derivácie funkcie ¦ v nejakom bode a, je potom funkcia ¦ spojitá v bode a?

Riešenie. „Zovšeobecnená“ veta neplatí. Zoberme napr. funkciu dvoch premenných definovanú takto ¦(x, y) = sgn (xy). Nech a = [0; 0]. Potom parciálne derivácie v bode a existujú (a sú rovné nule), napriek tomu funkcia f nie je v bode a spojitá.

ZDROJ: matika.studnet.sk archived 5.6.2008