parciálne derivácie, derivácie zložených funkcií, Lagrangeova veta

Parciálne derivácie funkcie viacerých premenných, derivácie zloženej funkcie

Príklad. Nájdite parciálne derivácie nasledovných funkcií podľa všetkých premenných:

(derivácie sú "smerové kosínusy" bodu P[x, y, z])

Riešenie. Výsledky neuvádzame. Výpočet derivácií totiž nemôže študentovi matematiky spôsobovať žiadne problémy.

Príklad. Dokážte, že pre dané funkcie platí:

Riešenie. Stačí nájsť príslušné parciálne derivácie a dosadiť ich do rovností.

Príklad. Nájdite parciálne derivácie zložených funkcií (podľa všetkých premenných):

Riešenie. Nech je daná funkcia y = f(u, v), pričom u = u(x), v = v(x); potom pre deriváciu funkcie f platí:

Skomplikujme trochu predchádzajúcu situáciu. Nech je daná funkcia y = f(u, v), pričom u = u(x, y), v = v(x, y). Potom pre parciálne derivácie funkcie f platí:

Príklad. Dokážte, že platí (j, f sú diferencovateľné funkcie):

Riešenie. Dané funkcie musíme derivovať ako zložené. Dokážme napr. prvú rovnosť. Položme u = y/x. Potom

Teraz už ľahko nahliadneme, že

Príklad. Pomocou vzorca na výpočet derivácie zloženej funkcie nájdite vzorec na výpočet derivácie funkcií typu y(x) = [j(x)]^y(x).

Riešenie. Položme u = j(x), v = y(x). Potom pre deriváciu funkcie y = u^v platí

Dostali sme vzorec, ktorý poznáte z logaritmického derivovania funkcie jednej premennej.

Príklad. Dokážte, že pre homogénnu funkciu f = f(x₁, x₂...x_n) stupňa k, ktorá je v bode X ¹ O[0; 0] diferencovateľná, platí:

Riešenie. Pre homogénnu funkciu f = f(x₁, x₂...x_n) stupňa k platí

Zderivujte túto rovnosť podľa t a položte t = 1.

Príklad. Pohyb hmotného bodu v priestore je daný rovnicami x = t, y = t², z = t³. Akou rýchlosťou sa vzďaľuje tento bod od bodu O[0; 0; 0]?

Riešenie. Pre rýchlosť v platí v = (1 + 2t³ + 3t⁴) / (1 + t² + t⁴)^1/2. Získate ju deriváciou vzdialenosti |OX| podľa času t.

Príklad. Napíšte Lagrangeovu vetu, ak (i) f(x, y) = x² + 3xy² + y³ + 1, A(1; 2), X(3;4); (ii) f(x, y) = cos xy, A(0; 0), X(p/2; p/2); (iii) f(x, y, z) = 3xyz, A(1; 1; 1), X(2; 3; 5).

Riešenie. Uvedieme Lagrangeovu vetu pre funkciu troch premenných. Nech je daná diferencovateľná funkcia f, definovaná v bode A. Nech bod X[x₁; x₂; x₃] leží v okolí bodu A[a₁; a₂; a₃]. Potom platí

Príklad. Dokážte, že ak má funkcia f na oblasti D parciálne derivácie prvého rádu podľa všetkých premenných rovné nule, potom f je na D konštantná.

Riešenie. Využite Lagrangeovu vetu.

ZDROJ: matika.studnet.sk archived 5.6.2008