diferenciálne rovnice

Diferenciálne rovnice a ich aplikácie

Príklad. Riešte diferenciálne rovnice:

Riešenie. Prvým dôležitým krokom riešenia je zaradenie diferenciálnej rovnice (ďalej len DR) do istej skupiny DR. Z toho už vyplýva ďalší postup riešenia. Popíšeme teda stratégie na riešenie rôznych typov DR.

Na úvod malá poznámka: nebudeme striktne písať predpoklady kladené na jednotlivé funkcie, predpokladajme, že všetky funkcie, ktoré budeme musieť integrovať, sú integrovateľné.

(1) DR so separovanými premennými

Hľadanú funkciu y, ktorá je riešením tejto DR dostaneme priamym integrovaním. T. z., že funkcia y je daná implicitne rovnicou

(2) Separovateľná DR

Jednoduchou úpravou z nej dostaneme DR predchádzajúceho typu. Dostaneme

Riešením sú všetky funkcie, ktoré dostaneme integrovaním tejto DR plus konštantné funkcie y = k_i, pre ktoré platí q₁(y) = 0.

(3) Homogénna DR

Homogénnou nazývame DR uvedeného tvaru v prípade, že funkcie H₁ a H₂ sú homogénne funkcie toho istého stupňa. Sustitúciou

(u = u(x) je nová neznáma funkcia) prevedieme túto DR na predchádzajúci typ DR, ktorej riešenie sme už naznačili. Ešte uvedieme, že z tejto substitúcie tiež vyplýva

(4) Lineárna DR

Uvedieme tri metódy na riešenie DR tohto typu.

(4a) Lagrangeova metóda (variácie konštánt)

Najskôr riešime príslušnú DR bez pravej strany, tj.

Vidíme, že toto je separovateľná DR, ktorej riešením je funkcia

V nasledujúcom kroku namiesto reálnej konštanty c zavedieme neznámu funkciu c º c(x) (odtiaľ aj názov Lagrangeova metóda variácie konštánt). Predpokladáme teda, že pôvodná lineárna DR má riešenie tvaru

Dosadíme túto funkciu do DR (4) a upravíme ju. Ľahko zistíme, že potom platí

Hľadaným riešením je potom funkcia y, ktorá je daná predpisom

(4b) Eulerova metóda (integračného faktora)

Vynásobme DR (4) funkciou (tzv. integračným faktorom)

Všimnime si, že ľavá strana našej DR má potom veľmi špeciálny tvar - a síce je to derivácia súčinu dvoch funkcií. Dostali sme teda rovnicu

Odtiaľ už po zintegrovaní máme

(4c) Bernoulliho metóda

Definujme dve pomocné funkcie u = u(x) a v = v(x). Predpokladáme, že hľadané riešenie lineárnej DR bude mať tvar

y = uv

Dosaďme túto funkciu do DR (4). Po malej úprave dostaneme

Od funkcií u a v teraz očakávame, že budú spĺňať (vhodné) dodatočné podmienky. Žiadame, aby "výraz v zátvorke" bol rovný nule. Tj. musí byť splnená sústava rovníc

Ale tieto dve DR už vieme vyriešiť. Dostávame

Aj tretím postupom sme teda našli riešenie

(5) Bernoulliho DR

Substitúciou

prevedieme DR tohto typu na lineárnu diferenciálnu rovnicu. Ďalšou možnosťou je využiť na riešenie postup (4c).

Príklad. Nájdite integračné faktory diferenciálnych rovníc a vyriešte ich:

Riešenie. Ďalším typom DR, ktorý sme zatiaľ nespomenuli, je exaktná DR. Je to DR typu

kde platí

Na ľavej strane rovnice je teda diferenciál nejakej funkcie F(x, y). Keďže máme dF(x, y) = 0, všeobecným integrálom tejto DR je F(x, y) = C.

Ukážeme postup pri riešení exaktnej DR

Ľahko overíte, že skutočne je to exaktná DR. Ukážeme viacero možností, ako ju možno riešiť. Prvou je dosadenie do vzorca. Totiž pre hľadanú funkciu F platí

Tento výpočet hravo ukončí čitateľ sám. Ďalšia možnosť je takáto: keďže výraz na ľavej strane je totálnym diferenciálom funkcie F, zrejme platí

Odtiaľ máme

Súčasne ale platí

Riešenie danej DR má teda tvar F(x, y) = C, tj. 2xy - 3x + y³ = C.

Tento postup môžeme trochu modifikovať. Počítajme:

Keďže ide o tú istú funkciu F, zrejme je daná predpisom F(x, y) = 2xy - 3x + y³ a všeobecný integrál danej DR je opäť F(x, y) = C.

Diferenciálne rovnice, ktoré nie sú exaktné, môžeme na takéto upraviť vynásobením DR funkciou r nazývanou integračný činiteľ. Pritom platí

Príklad. Diferenciálne rovnice majú obyčajne nekonečne veľa riešení. Nájdite diferenciálnu rovnicu, ktorá nemá žiadne riešenie.

Riešenie. Pri riešení tejto úlohy využijeme známu vlastnosť reálnych čísel – ich štvorce sú nezáporné čísla. Určite teda neexistuje riešenie diferenciálnej rovnice tvaru [y¢(x)]² + 1 = 0.

Príklad. Nájdite všetky krivky, ktorých dotyčnice v každom bode P[x; y] majú priesečník s osou o_x bod Q[x/2; 0].

Riešenie. Čitateľovi zrejme pomôže náčrt uvedenej situácie. Potom si stačí už len uvedomiť, že platí

Dostávame teda separovateľnú DR tvaru

Jej riešením sú krivky s rovnicou

y = kx², k ¹ 0.

Príklad. Nájdite rovnicu krivky, u ktorej všetky normály prechádzajú bodom B[2; - 3].

Riešenie. Načrtnime si nejakú krivku y = y(x). Nech bod T[x; y] je bod krivky, v ktorom zostrojíme normálu krivky. Táto normála (tak ako všetky ostatné) musí prechádzať daným bodom B. Teda pre rovnicu normály platí:

Riešením sú teda krivky, ktoré sú riešením DR

tj. krivky implicitne dané rovnicou

Príklad. Nájdite tú krivku, ktorá prechádza bodom Q[-1; 4] a jej subnormála v ľubovoľnom bode má konštantnú dĺžku rovnú 4.

Poznámka. Načrtnite graf nejakej funkcie y = y(x) a zostrojte dotyčnicu v jej ľubovoľnom bode T. Prienik tejto dotyčnice s osou o_x označte M, kolmý priemet bodu T na túto os označte N. Do obrázka pridajte aj normálu v bode T, jej prienik s o_x označte P. Potom pre nasledovné úsečky platí: TM - nazývame dĺžka dotyčnice, TP - dĺžka normály, MN - subtangenta, NP - subnormála.

Riešenie. Ak použijeme označenia z poznámky, pre dĺžku subnormály platí

|NP| = yy'.

Takže musíme vyriešiť DR

yy' = 4,

pričom musíme nájsť to partikulárne riešenie, ktoré prechádza bodom Q. Riešením je parabola y² = 8(x + 3).

Príklad. Lokomotíva sa pohybuje po horizontálnej dráhe rýchlosťou 20 m/s. Za aký čas by sa zastavila vplyvom trenia, ak veľkosť odporovej trecej sily je rovná dvom desatinám tiaže lokomotívy? Akú dráhu prejde do momentu zastavenia?

Riešenie. Použime označenie veličín známe z fyziky. Nech F - sila, m - hmotnosť, s - dráha, v - rýchlosť, t - čas, G = mg - tiaž, g = 10 m/s² - gravitačné zrýchlenie. Podľa druhého Newtonovho zákona platí:

Sila, ktorá pôsobí v našom prípade je trecia sila, ktorá bráni pohybu, preto:

Po dvojnásobnom integrovaní máme:

Konštanty c a k určíme z počiatočných podmienok. Pre hodnotu t = 0 je dráha s = 0, odtiaľ dostávame k = 0. Ďalej pre t = 0 je rýchlosť v = 20, odkiaľ máme c = 20. Teda rýchlosť pohybu a dĺžku dráhy popisujú rovnice:

Ak do vzťahu pre rýchlosť dosadíme v = 0, zistíme, že lokomotíva zastaví približne po čase t » 10,2 s. Po dosadení tejto časovej hodnoty do rovnice dráhy zistíme, že prejdená dráha bude s » 102 m.

Príklad. Nájdite pohybovú rovnicu kameňa hmotnosti m, ktorý bol vyhodený zvislo nahor rýchlosťou w.

Riešenie. Nájsť pohybovú rovnicu telesa znamená nájsť závislosť dráhy s od času t. Na vyhodený kameň pôsobia dve sily - F, ktorá mu udelila začiatočnú rýchlosť a G - tj. tiaž, ktorá pôsobí proti smeru pohybu. Keďže veľkosti týchto síl musia byť rovnaké, dostaneme DR:

Po dvojnásobnej integrácii dostaneme využitím počiatočných podmienok riešenie:

Príklad. Rýchlosť rozpadu rádioaktívnej látky je priamo úmerná hmotnosti tejto látky (koeficient úmernosti označme k). Nájdite vzorec popisujúci rádioaktívny rozpad, tj. udávajúci hmotnosť rádioaktívnej látky v ľubovoľnom čase t, ak na začiatku jej hmotnosť bola M.

Riešenie. Zo zadania vyplýva, že hmotnosť látky m (čo je funkcia času t), ktorá sa rozpadne za čas Dt je rovná k.m.Dt, kde m je hmotnosť látky v danom čase. Keďže ide o rozpad (zmenšovanie hmotnosti látky), pre zmenu hmotnosti platí Dm = - kmDt (k > 0).

Predeľme túto rovnicu výrazom Dt. Po limitnom prechode pre Dt ® 0 dostaneme separovateľnú DR

kde m = m(t) a musí byť splnená počiatočná podmienka m(0) = M. Jej riešením dostaneme funkciu, ktorá popisuje zákon rádioaktívneho rozpadu látky:

Príklad. Vo vode s teplotou 20°C sa v priebehu 10 min ochladí teleso z teploty 100°C na teplotu 60°C. Za aký čas sa toto teleso ochladí na teplotu 30°C, ak rýchlosť ochladzovania je úmerná rozdielu teploty telesa a teploty prostredia (tj. vody)?

Riešenie. Rýchlosť ochladzovania (rýchlosť zmeny teploty T, tj. derivácia dT/dt) je úmerná rozdielu teplôt telesa a prostredia. Tento fakt zapíšeme separovateľnú DR tvaru (konštantu úmernosti si označme k, okamžitú teplotu telesa T):

Jej riešením sú funkcie tvaru

Z počiatočných podmienok - pre čas t = 0 je teplota T = 100, pre čas t = 10 je teplota T = 60 - dostaneme ako jediné riešenie funkciu

Po dosadení zistíme, že teleso bude mať teplotu 30°C za čas t = 30 min.

Príklad. V nádrži sa nachádza 100 l vodného roztoku obsahujúceho 10 kg soli. Do nádrže vteká voda rýchlosťou 3 l/min a vyteká z nej roztok rýchlosťou 2 l/min, pričom koncentráciu roztoku môžeme považovať za konštantnú v celom objeme nádrže ( napr. vďaka nejakému miešaniu). Koľko soli bude obsahovať tento roztok za 1 hod?

Riešenie. Koncentráciu soli v nádrži označme c. Koncentráciu definujme ako hmotnosť soli v jednotke objemu. Keďže koncentrácia je konštantná v celom objeme, množstvo soli v nádrži je cV.

Nech v čase t min je v nádrži x kg soli. Objem vody v nádrži v tomto momente je 100 + t (to vyplýva z rýchlostí prítoku a odtoku vody do nádrže). Potom koncentrácia na 1 l roztoku je daná vzťahom

Za čas dt z nádrže vytečie 2 dt litrov roztoku, ktoré obsahujú 2 c dt kilogramov soli. Preto je zmena množstva soli v nádrži dx daná DR tvaru

Integrovaním nájdete riešenie

Z počiatočných podmienok (v čase t = 0 je v nádrži x = 10 kg soli) dostaneme C = 100 000. Po uplynutí času t = 1 hod v nádrži zostane približne 3,9 kg soli.

Príklad. Teleso s hmotnosťou m bolo vyhodené vertikálne nahor so začiatočnou rýchlosťou W. Predpokladajme, že odpor vzduchu je úmerný druhej mocnine rýchlosti v. Určite čas T, za ktorý teleso dosiahne najvyšší bod svojej trajektórie.

Riešenie. Do rovnosti musíme dať všetky sily, ktoré pôsobia na dané teleso. Vertikálne nahor zrejme pôsobí sila, ktorou sme teleso vrhli do výšky - nech je to sila F. Smerom dolu (proti pohybu) pôsobí odpor vzduchu, označme túto silu Q. No a rovnakým smerom pôsobí samozrejme aj tiažová sila (ktorou priťahuje teleso Zem), označme ju G. Teda pre veľkosti týchto síl musí platiť

Máme teda riešiť DR

Jej riešením sú funkcie tvaru

Konštantu C určíme z počiatočnej podmienky - v čase t = 0 je rýchlosť telesa v = W. Keď sa teleso nachádza v najvyššom bode svojej dráhy, jeho rýchlosť je v = 0. Odtiaľ už dostaneme hľadaný čas T.

Príklad. Nájdite tie krivky, pre ktoré je vzdialenosť dotyčnice aj normály od bodu O[0; 0] rovnaká.

Riešenie. Načrtnime si v súradnicovej sústave OXY tú hľadanú krivku y = y(x), pre ktorú platí, že jej dotyčnica aj normála v nejakom bode T[x; y] sú rovnako vzdialené od bodu O. Pre rovnice dotyčnice a normály zrejme platí

Pre vzdialenosti týchto priamok od bodu O (X = 0, Y = 0) zase platí

Tieto vzdialenosti majú byť rovnaké, tj. dostávame homogénnu DR

Jej riešeniami sú funkcie dané implicitne rovnicou

Príklad. Nájdite všetky krivky, ktorých dotyčnice v ľubovoľnom bode T vytvárajú spolu s osou o_y a úsečkou OT, kde bod O je začiatok súradnicovej sústavy, trojuholník s obsahom S = a² (a ¹ 0).

Riešenie. Načrtnime hľadanú krivku y = y(x) v súradnicovej sústave OXY a taktiež jej dotyčnicu t v bode T[x; y]. Označme ďalej R - priemet bodu T na os Y, tj. jeho súradnice sú R[0; y]; Q - priesečník dotyčnice t s osou Y, preto jeho súradnice sú Q[0; Y_Q].

Vypočítajme súradnicu Y_Q. Bod Q leží na dotyčnici t, preto pre jeho súradnice platí:

Zo zadania vieme, že pre trojuholník DOTQ má platiť S(DOTQ) = a². Podľa nášho označenia však platí:

S(DOTQ) = |OQ| |RT| / 2.

Pre vzdialenosti týchto bodov však platí |OQ| = Y_Q a súčasne |RT| = x. Dostávame teda lineárnu DR

Riešením sú všetky krivky dané analytickým predpisom

Príklad. Do okruhu konštantným napätím U je zapojená cievka s indukčnosťou L a ohmický odpor R. Aký priebeh bude mať veľkosť elektrického prúdu v závislosti od času t, ak v čase t = 0 bola veľkosť prúdu I = 0.

Riešenie. Veľkosť elektromotorického napätia v obvode musí byť rovná úbytkom napätí na jednotlivých súčiastkach. Teda musí platiť:

Riešiť teda musíme lineárnu DR tvaru

Jej riešením spĺňajúcim danú počiatočnú podmienku je funkcia

ZDROJ: matika.studnet.sk archived 5.6.2008