totálny diferenciál

Totálny diferenciál funkcie viacerých premenných

Príklad. Nájdite parciálne prírastky funkcie a totálny prírastok funkcie z = xy.

Riešenie. Pre totálny prírastok resp. pre parciálne prírastky funkcie platí

Príklad. Nájdite prírastok funkcie z = x²y + xy² - 2xy prislúchajúci zmene hodnôt nezávislých premenných x₀ = 1, y₀ = - 1 na hodnoty x = 1 + h, y = - 1 + k.

Riešenie. Dz = h - 3k - h² - 2hk + k² + h²k + hk².

Príklad. Dokážte, že funkcia z = x² + y² je spojitá na R².

Riešenie. Dokážte, že platí

Príklad. Napíšte výraz pre totálny diferenciál funkcií:

Riešenie. Nech je daná funkcia f viacerých premenných, ktorá má spojité parciálne derivácie. Potom pre diferenciál funkcie f platí

(tento výraz je totálnym diferenciálom len v prípade, že všetky parciálne derivácie sú spojité).

Príklad. Nájdite totálny prírastok funkcie z = xy v bode A[2; 3] pre prírastky Dx = 0,1 a Dy = 0,2. Porovnajte túto hodnotu s totálnym diferenciálom. Interpretujte výsledok geometricky.

Riešenie. Dz = 0,72; dz = 0,7.

Príklad. Pomocou diferenciálu funkcie dokážte, že platí

Riešenie. Nech je daná diferencovateľná funkcia f (nech je to funkcia dvoch premenných), pričom vieme ľahko určiť jej funkčnú hodnotu v bode Q[x₀, y₀]. Potom pre funkčnú hodnotu v bode P[x, y], ktorý leží v okolí bodu Q, platí:

Príklad. (1) Pre odvesny v pravouhlom trojuholníku platí a = c sin a resp. b = c cos a. Ako sa približne zmenia dĺžky odvesien pri zmene prepony c o hodnotu dc a uhla a o hodnotu da?

(2) Ako sa zmení objem rotačného kužeľa, ak sa jeho polomer zmení o dr a dĺžka strany o ds?

(3) V pravouhlom trojuholníku je daná odvesna a a prepona c. O akú hodnotu sa zmení uhol pri vrchole A pri zmene týchto strán o hodnoty da resp. dc?

Riešenie. Využite diferenciál funkcie dvoch premenných.

Príklad. Dokážte, že pre "malé" čísla a, b, c platí:

Riešenie. Využite diferenciál funkcie viacerýchch premenných.

Príklad. Obdĺžnik má strany dĺžky 6 m a 8 m. O koľko sa zmení dĺžka uhlopriečky, ak sa prvá strana predĺži o 5 cm a druhá skráti o 10 cm?

Riešenie. Využite diferenciál funkcie. Du » – 0,05 m.

Príklad. Nájdite objem skla (presne i približne) potrebného na zhotovenie pohára nasledovných rozmerov: polomer vnútorného valca - R, výška vnútorného valca - H, hrúbka stien a dna pohára - k.

Riešenie. Označme potrebný objem skla symbolom V. Pre objem valca zrejme platí z = pR²H. Potom

(1) Presné riešenie

(2) Približné riešenie

Príklad. Napíšte rovnicu dotykovej roviny ku grafu funkcie (a) z = 3x² + y² v bode T[1; - 2; ?]; (b) z = 2x² + y² v bode T[1; ?; 6]; (c) z = xy v bode T[?; 2; 8]

Riešenie. Nech dotykový bod má súradnice T[a; b; c]. Potom dotyková rovina grafu funkcie z v bode T má rovnicu

Príklad. Nájdite dĺžku úseku priamky p: x + 1 = 0, y - 4 = 0 medzi grafom funkcie a: z = x² + y² + 2x - 2y + 2 a dotykovou rovinou ku grafu tejto funkcie v bode T[0; 2; 2].

Riešenie. Nájdite rovnicu dotykovej roviny. Potom vypočítajte súradnice bodu P - prieniku priamky p s rovinou a a súradnice bodu Q - prieniku priamky p s dotykovou rovinou. Dĺžka hľadaného úseku priamky je vzdialenosť |PQ| = 5j.

Príklad. Dokážte, že funkcia f má parciálne derivácie na množine R² - O[0; 0] a predsa nie je diferencovateľná v bode O[0; 0] (keďže tam nie je spojitá), ak

Príklad. Dokážte, že funkcia f má parciálne derivácie v bode O[0; 0] a je v tomto bode diferencovateľná a spojitá, ale nemá parciálne derivácie a ani nie je diferencovateľná a spojitá v žiadnom okolí tohto bodu.

Príklad. Nutná podmienka pre diferencovateľnosť funkcie dvoch premenných má tvar: Nech funkcia ¦ je definovaná v nejakom okolí bodu A = [a; b]. Ak je funkcia ¦ v bode A diferencovateľná, potom existujú parciálne derivácie ¦¢_x(A), ¦¢_y(A) a pre totálny diferenciál platí: d¦(X, A) = ¦¢_x(A) Dx + ¦¢_y(A) Dy; kde X = [a + Dx; b + Dy].

Je táto podmienka postačujúca?

Riešenie. Uvedená podmienka nie je postačujúca. Zoberme funkciu ¦(x, y) = sgn (xy), nech A = [0; 0]. ľahko nahliadneme, že existujú obe parciálne derivácie funkcie ¦. Ale taktiež sa dá dokázať, že funkcia ¦ nie je v bode A spojitá, tj. nemôže tam byť ani diferencovateľná. To znamená, že výraz ¦¢_x(A) Dx + ¦¢_y(A) Dy, aj keď ho vieme formálne napísať, nemusí byť vždy totálnym diferenciálom funkcie ¦ v bode A.

ZDROJ: matika.studnet.sk archived 5.6.2008