extrémy funkcie viac premenných

Extrémy funkcie viacerých premenných

Príklad. V akých bodoch majú extrémy funkcie

u = (x - 1)² + (y - 2)² + 1 resp. v = 10 - sin(x² + y²).

Riešenie. Ľahko zdôvodníte, že u_MIN([1; 2]) = 1; v_MAX([0; 0]) = 10.

Príklad. Nájdite lokálne extrémy funkcie z = x² + 2y² - 4x + 3.

Riešenie. Parciálne derivácie funkcie z existujú v každom bode definičného oboru, preto extrémy môžu byť len v stacionárnych bodoch. Z rovníc z'_x = 0 a z'_y = 0 dostaneme jediný stacionárny bod B[2; 0]. V tomto bode určíme aj hodnoty druhých parciálnych derivácií a dosadíme do determinantov

Táto kvadratická forma je pozitívne definitná, t.j. v bode B je lokálny extrém a to ostré lokálne minimum.

Príklad. Nájdite lokálne extrémy funkcie u = xy + xz + yz - 2x - 2y - 2z.

Riešenie. Postupujte ako v predošlom príklade. "Podozrivým" bodom bude bod B[1; 1; 1], pre ktorý platí

Táto kvadratická forma je indefinitná, preto funkcia u nemá v bode B extrém, ani v žiadnom inom bode. Tretí determinant sme už nemuseli počítať; vieme, že keď je druhý determinant záporný, v bode B nie je extrém.

Poznámka. Príklad funkcie, ktorá v stacionárnom bode nemá extrém: z = xy.

Jediným "kritickým" bodom je stacionárny bod X[0; 0]. V jeho ľubovoľnom okolí však vždy existujú body, v ktorých sa nadobúdajú kladné resp. záporné funkčné hodnoty. Napr. ak zvolíme bod A[a; a], potom z(A) > 0. Ak zvolíme bod B[- a; a], potom z(B) <>

Podobne uvažujte o funkcii w = y² - x² a bode Y[0; 0].

Príklad. Nájdite lokálne extrémy funkcie z = xy(6 - x - y).

Riešenie. "Kritické" body sú A[2; 2], B[0; 0], C[0; 6], D[6; 0]. Funkcia z nadobúda maximum v bode A, v ostatných nie je extrém.

Príklad. Nájdite lokálne extrémy funkcie z = 2 + 2x + 4y - x² - y².

Riešenie. Funkcia z nadobúda maximum v bode M[1; 2]. Mohli sme ho nájsť aj bez využitia všeobecného postupu - ak by sme funkciu z zapísali v tvare z = 7 - (x - 1)² - (y - 2)².

Príklad. Nájdite lokálne extrémy funkcie z = x² - xy + y² + 3x - 2y + 1.

Riešenie. Funkcia nadobúda minimum v bode N[- 4/3; 1/3].

Príklad. Nájdite lokálne extrémy funkcie z = x² / 2p + y² / 2q.

Riešenie. Funkcia nadobúda minimum v bode N[0; 0].

Príklad. Nájdite lokálne extrémy funkcie z = x³ - 3xy + y³.

Riešenie. "Kritické" body sú A[1; 1] a B[0; 0]. V prvom funkcia nadobúda minimum, v druhom nie je extrém.

Príklad. Nájdite lokálne extrémy funkcie z = x³ - 6xy + 8y³ + 5.

Riešenie. "Kritické" body sú A[1; 0,5] a B[0; 0]. V prvom funkcia nadobúda minimum, v druhom nie je extrém.

Príklad. Nájdite lokálne extrémy funkcie z = (x - y)² + (y - 1)³.

Riešenie. Stacionárny bod je M[1; 1]. V tomto bode je však determinant D_2M = 0, t.j. na základe Sylvestrovho kritéria nevieme rozhodnúť, či funkcia nadobúda v bode M extrém.

Na vyšetrenie extrému môžeme postupovať takto: zoberme bod N, ktorý leží v okolí bodu M a skúmajme rozdiel Dz = z(N) - z(M).

Nech bod N leží na priamke y = x. Potom Dz = (y - 1)³. Ak bod N bude ležať "pod" bodom M, platí Dz < 0. Ak bod N leží "nad" bodom M, platí Dz > 0. Výraz Dz teda nezachováva znamienko, preto v bode M nemôže byť extrém.

Príklad. Nájdite lokálne extrémy funkcie w = x^2/3 + y^2/3 + z^2/3.

Riešenie. "Kritický" bod je A[0; 0; 0]. V tomto bode parciálne derivácie nie sú nulové, ale neexistujú a súčasne funkcia w je v tomto bode definovaná. Vďaka neexistencii parciálnych derivácií na zistenie charakteru prípadného extrému nemôžeme použiť Sylvestrove kritérium.

Opäť teda skúmajme hodnotu výrazu Dw = w(X) - w(A), kde X je ľubovoľný bod z okolia bodu A. Pre tento rozdiel platí Dw = x^2/3 + y^2/3 + z^2/3 > 0. V bode A má preto funkcia w ostré lokálne minimum.

Príklad. Nájdite lokálne extrémy funkcií

Riešenie. Opäť nebudete môcť použiť Sylvestrove kritérium, ale dokážte, že v_MIN(1; -1) = 2 a u_MAX(2; 0) = 1.

Príklad. Nájdite maximum funkcie u = xyz za podmienky xy + xz + yz - a = 0 (x .> 0, y > 0, z > 0). (Alternatívne zadanie je: zo všetkých kvádrov s povrchom S = 2a nájdite ten, ktorý má najväčší objem).

Riešenie. Takže ukážka hľadania viazaných extrémov. Vytvorme Lagrangeovu funkciu:

Nájdime parciálne derivácie tejto funkcie a položíme ich rovné 0. Túto sústavu doplníme o rovnicu väzby:

Dostali sme sústavu štyroch rovníc o štyroch neznámych x, y, z a l. Vynásobme prvú rovnicu x, druhú y, tretiu z a sčítajme ich. Potom pre Lagrangeov multiplikátor l platí

Túto hodnotu dosadíme do prvých troch rovníc. Dostaneme sústavu

Keďže čísla x, y, z sú kladné, nulové musia byť výrazy v hranatých zátvorkách. Teda

Vyriešme túto sústavu takto: z prvých dvoch rovníc vyplýva, že x = y, z druhej a tretej y = z. Potom z rovnice väzby vyplýva, že

Ešte treba overiť, že v tomto bode má funkcia u maximum.

Príklad. Nájdite viazané extrémy funkcie z = xy, ak je väzba daná rovnicou x + y = 1.

Riešenie. Viazané maximum sa nadobúda v bode M[0,5; 0,5].

Príklad. Nájdite extrémy funkcie z(x, y) = 3x + 4y + 5, ak väzba je daná rovnicou x² + y² = 1.

Riešenie. Funkcia z nadobúda ostré viazané lokálne minimum v bode N[- 0,6; -0,8] a ostré viazané lokálne maximum v bode M[0,6; 0,8].

Príklad. Nájdite extrémy funkcie z(x, y) = x² + y² - 12x + 16y v oblasti x² + y² = 1.

Riešenie. Hľadáme viazané extrémy za danej podmienky. Funkcia z nadobúda viazané minimum v bode N[3; - 4] a viazané maximum v bode M[- 3; 4].

Príklad. Nájdite viazané extrémy funkcie v(x, y, z) = x - 2y + 2z, ak väzba má tvar x² + y² + z² = 1.

Riešenie. Maximum sa nadobúda v bode M[1/3; - 2/3; 2/3], minimum v bode N[- 1/3; 2/3; - 2/3].

Príklad. Nájdite viazané extrémy funkcie u(x, y, z) = x² + y² + z², ak väzby sú dané rovnicami x + y - 3z + 7 = 0 a x - y + z - 3 = 0.

Riešenie. Lagrangeova funkcia má tvar

Pri hľadaní extrémov treba riešiť sústavu piatich rovníc s piatimi neznámymi x, y, z, a, b. Sústavu tvoria rovnice

L'_x = 0, L'_x = 0, L'_x = 0 a dve rovnice väzby.

Známym postupom zistíte, že funkcia u má ostré viazané lokálne minimum v bode A[0; - 1; 2].

Iné riešenie: nájdeme prienik dvoch rovín (rovnice väzby), ktorým bude priamka s istým parametrickým vyjadrením v priestore. Ďalej potom hľadáme extrémy funkcie jednej premennej (parametra t).

Príklad. Vo vnútri trojuholníka ABC nájdite bod X, pre ktorý je súčet štvorcov vzdialeností od jeho strán najmenší (tzv. Lémoinov bod známy aj z moreplavby - z troch pozorovaní lode sa určí jej najpravdepodobnejšia poloha).

Riešenie. Načrtnime si trojuholník ABC a onen hľadaný bod X. Nech vzdialenosť bodu X od strán a, b, c je po rade x, y, z. Obsah P nášho trojuholníka je konštantný, pričom platí P = ax/2 + by/2 + cz/2. Hľadaný bod X teda získame, ak nájdeme extrém funkcie u(x, y, z) = x² + y² + z² za splnenia podmienky (väzby) ax + by + cz - 2P = 0. Riešením je bod

Príklad. Nájdite globálne extrémy funkcie z(x, y) = x² + y² + xy - x - y na množine M = {[x; y]ÎR²: x ³ 0 Ù y ³ 0 Ù x + y £ 1}.

Riešenie. Funkcia z je definovaná na kompaktnej množine (uzavretý trojuholník), je tam spojitá, preto existencia extrémov vyplýva z Weierstrassovej vety. Extrém môže nadobúdať v týchto "podozrivých" bodoch:

(1) v stacionárnych bodoch: A[1/3; 1/3];

(2) v bodoch, v ktorých nie je diferencovateľná: teraz také neexistujú;

(3) v bodoch na hranici množiny M: nájdeme extrémy funkcie na jednotlivých stranách trojuholníka, tj. hľadáme viazané extrémy, pričom väzbou sú rovnice jednotlivých strán:

y = 0 - hľadáme extrém funkcie z(x, 0) na intervale (0; 1) - dostaneme bod B[1/2; 0],

x = 0 - hľadáme extrém funkcie z(0; y) na intervale (0; 1) - dostaneme bod C[0; 1/2],

y = 1 - x - hľadáme extrém funkcie z(x, 1 - x) na intervale (0; 1) - dostaneme bod D[1/2; 1/2];

(4) v bodoch, kde sa "láme" hranica: E[0; 0], G[1; 0], H[0; 1] (vrcholy trojuholníka).

Na záver musíme určiť funkčné hodnoty vo včetkých "podozrivých" bodoch:

z(A) = - 1/3; z(B) = z(C) = z(D) = - 1/4; z(E) = z(G) = z(H) = 0.

Porovnaním týchto čísel zistíme, že funkcia z nadobúda globálne minimum v bode A a globálne maximum v bodoch E, G, H.

Poznámka. Uvedieme príklad, na ktorom ukážem, že nestačí uvažovať stacionárne body z vnútra danej oblasti.

Majme funkciu u = x³ - 4x² + 2xy - y² definovanú v pravouholníku ohraničenom priamkami x = - 5, x = 5, y = -1 a y = 1.

Po nájdení parciálnych derivácií nájdeme jediný stacionárny X[0; 0]. V tomto bode funkcia u nadobúda maximum (overte to). Napriek tomu funkcia u nemá v tomto bode globálne maximum, pretože napríklad v bode Y[5; 0] na hranici pravouholníka nadobúda funkcia u väčšiu funkčnú hodnotu (a nájdete aj ďalšie podobné body).

Príklad. Nájdite globálne extrémy funkcie z(x, y) = x² - y² + 2a² v oblasti x² + y² £ a².

Riešenie. Jediným stacionárnym bodom je bod A[0; 0]. V tom to bode je funkčná hodnota z(A) = 2a².

Ďalej hľadajme kritické body na hranici oblasti - na kružnici x² + y² = a². Ak vyjadríme z tejto rovnice y² = a² - x² a dosadíme do predpisu funkcie z, opäť musíme hľadať extrém funkcie jednej premennej z(x) = 2x² + a², pričom x leží v intervale á– a; añ. "Kritickými" hodnotami sú:

x = 0 (stacionárny bod); x = ± a (konce intervalu).

Označme tieto body B[0; a], C[0; - a], D[a; 0], E[- a; 0]. Porovnaním funkčných hodnôt zistíme, že globálne maximum sa nadobúda v bodoch D a E; globálne minimum v bodoch B a C.

Príklad. Nájdite globálne extrémy funkcie z(x, y) = 2x³ + 4x² + y² - 2xy v uzavretej oblasti ohraničenej krivkami y = x² a y = 4.

Riešenie. Najskôr nájdeme stacionárne body vo vnútri danej oblasti. Z rovníc z'_x = 0 a z'_y = 0 dostaneme stacionárne body A[0; 0] a B[- 1; - 1]. Ani jeden z nich však neleží vo vnútri našej oblasti, preto postupujme ďalej.

Hľadajme najmenšiu a najväčšiu funkčnú hodnotu v bodoch na hranici oblasti. Tá má dve časti - prvú tvorenú bodmi ležiacimi na parabole y = x² a druhú, ktorá pozostáva z bodov priamky y = 4; pričom hodnoty premennej x ležia v oboch prípadoch v intervale á– 2; 2ñ.

Ďalej teda musíte nájsť extrémy funkcií z(x) = x⁴ + 4x² resp. z(x) = 2x³ + 4x² + 16 - 8x na intervale á– 2; 2ñ. Overte, že globálne maximum sa nadobúda v bodoch U[2; 4] a V[- 2; 4], a globálne minimum v bode W[0; 0].

Príklad. Nájdite globálne extrémy funkcie z(x, y) = sin x + sin y + sin (x + y) na množine A = {[x; y]ÎR²: xÎá0; p/2ñ, yÎá0; p/2ñ}.

Riešenie. Návod je v predchádzajúcich príkladoch. Globálne maximum sa nadobúda v bode M[p/3; p/3] a globálne minimum v bode O[0; 0].

Príklad. Nájdite globálne maximum funkcie z(x, y) = sin x + sin y - sin ( x + y) na oblasti A, kde množinou A je trojuholník ohraničený súradnicovými osami a priamkou x + y = 2p.

Riešenie. Vo vnútri trojuholníka nadobúda funkcia najväčšiu hodnotu v bode M[2p/3; 2p/3]. Keďže na celej hranici trojuholníka je funkcia nulová, v bode M nadobúda ostré globálne maximum.

Príklad. Nájdite globálne extrémy funkcie w = sin x sin y sin z na oblasti, ktorou je štvorsten daný podmienkami x > 0, y > 0, z > 0 resp. x + y + z = p/2.

Riešenie. Globálne maximum je v bode M [p/6; p/6; p/6].

Príklad. Nájdite globálne extrémy funkcie u(x, y, z) = xy²z³ v oblasti definovanej podmienkami x > 0, y > 0, z > 0 resp. x + 2y + 3z = a (a > 0).

Riešenie. Globálne maximum je v bode M[a/6; a/6; a/6].

Príklad. Nájdite globálne extrémy funkcie z = xy definovanej v trojuholníkovej oblasti s vrcholmi O[0; 0], A[1; 0], B[0; 2].

Riešenie. Globálne maximum je v bode M[1/2; 1], globálne minimum funkcia nadobúda v každom bode na stranách OA, OB.

Príklad. Nájdite infimum a suprémum funkcie u = (x + y + z) exp(- x - 2y - 3z) na oblasti danej nerovnosťami x > 0, y > 0, z > 0.

Riešenie. Hľadajte globálne extrémy funkcie u, dostanete inf u = 0 resp. sup u = 1/e.

Príklad. Nech x ³ 0, y ³ 0, n ³ 1. Dokážte, že potom platí

Riešenie. Hľadajte extrémy funkcie z = (xⁿ + yⁿ)/2, ak je daná väzba x + y = a.

Príklad. Kladné číslo a rozdeľte na tri sčítance tak, aby ich súčin bol maximálny.

Riešenie. Zrejme hľadáme globálne maximum funkcie f = xyz = xy(a - x - y) v oblasti ohraničenej priamkami x = 0, y = 0, x + y = a. Toto sa nadobúda pre x = y = z = a/3 (v ostatných "kritických" bodoch A[0; 0], B[0; a], C[a; 0] je funkčná hodnota nulová a dokonca v nich ani nie je extrém).

Príklad. Kladné číslo 4c rozdeľme na štyri sčítance tak, aby ich súčin bol maximálny.

Riešenie. Podobne ako v predošlom príklade hľadáme globálne maximum funcie f = xyzt = xyz(4c - x - y - z) v oblasti x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0, x + y + z £ 4c (tetraéder). Toto sa nadobúda pre x = y = z = t = c.

Zrejme tieto dve úlohy môžeme zovšeobecniť. Ich dôsledkom je, že geometrický priemer štyroch (resp. n) kladných čísel je menší alebo rovný ako aritmetický priemer týchto čísel:

Príklad. Nájdite najväčšiu hodnotu n - tej odmocniny zo súčinu n kladných čísel x₁, x₂, ... x_n za podmienky, že súčet týchto čísel je rovný číslu a.

Riešenie. Hľadáme zrejme maximum funkcie

pričom musí byť splnená podmienka x₁+ x₂ + ... + x_n = a. Hľadáme teda viazaný extrém. Máme Lagrangeovu funkciu

Ďalej

Z posledných rovností dostávame

Pre takúto n - ticu čísel nadobúda naša funkcia maximum. Pritom opäť môžeme odvodiť:

Príklad. V rovine Oxy nájdite bod, pre ktorý súčet štvorcov vzdialeností od bodov A[0; 0], B[1; 0], C[0; 1] je najmenší.

Riešenie. Uvážte, že vzdialenosť d hľadaného bodu T od vrcholov trojuholníka nadobúda minimum v rovnakom bode ako funkcia d² = z. Definujme teda funkciu z takto: z = x² + y² + (x - 1)² + x² + y² + (y - 1)² = 3x² + 3y² - 2x - 2y + 2. Ukážte, že globálne minimum táto funkcia nadobúda v bode T[1/3; 1/3], tj. v ťažisku trojuholníka ABC.

Príklad. Nájdite bod rovnoramenného trojuholníka, pre ktorý je súčet štvorcov vzdialeností od vrcholov trojuholníka najmenší.

Riešenie. Zvoľte trojuholník tak, aby jeho vrcholmi boli body A[0; 0], B[a; 0], C[0; a]. Ďalší postup bude podobný ako v predchádzajúcom príklade, hľadaným bodom je T[a/3; a/3].

Príklad. Na parabole P: 2x² - 4xy + 2y² - x - y = 0 nájdite bod, ktorého vzdialenosť od priamky q: 9x - 7y + 16 = 0 je najmenšia.

Riešenie. Nech X[x; y] je bod danej priamky a U[u; v] je bod danej paraboly. Pre ich vzdialenosť platí

Pre zjednodušenie situácie budeme hľadať viazané extrémy funkcie d²(x, y, u, v), pričom väzby sú dané rovnicou paraboly a rovnicou priamky. Lagrangeova funkcia má tvar:

Jediným stacionárnym bodom je A[159/65; 353/65; 3; 5] Nájdeme ho riešením sústavy šiestich rovníc so šiestimi neznámymi

L´_x = 0, L´_y = 0, L´_u = 0, L´_v = 0, 9x - 7y + 16 = 0 a 2u² - 4uv + 2v² - u - v = 0.

Jej riešením sú práve hodnoty x = 159/65; y = 353/65; u = 3; v = 5; l = 8/65; m = 8/65.

Známym postupom overte, že v bode A má funkcia L minimum a teda bod U[3; 5] je ten bod paraboly P, ktorého vzdialenosť od priamky q je najmenšia.

Pr: Na elipse E: x² + 4y² = 4 nájdite bod, ktorého vzdialenosť od priamky p: 2x + 3y - 6 = 0 je najmenšia resp. najväčšia.

R: Nájdite viazané extrémy funkcie d, ktorou je vzdialenosť bodu elipsy od priamky

Väzbou je rovnica elipsy. (Uvážte tiež, že odmocninu v menovateli môžete zanedbať).

Iný postup je uvedený v predošlom príklade. Hľadanými bodmi sú B[8/5; 3/5] resp. D[- 8/5; - 3/5].

Pr: Kváder maximálneho objemu vpíšte do elipsoidu (a, b, c > 0)

R: Hľadajte globálne maximum funkcie V(x, y, z) = 8xyz; kde jednotlivé premenné sú viazané rovnicou elipsoidu. Rozmery hľadaného kvádra sú

Príklad. Zo všetkých trojuholníkov vpísaných do kružnice s polomerom R nájdite ten, ktorého obsah je najväčší.

Riešenie. Načrtnite si trojuholník vpísaný do kružnice, spojte jeho vrcholy so stredom kružnice S. Označte príslušné stredové uhly x, y, z. Pre obsah trojuholníka potom platí

2P = R² sin x + R² sin y + R² sin z;

pričom jednotlivé premenné sú viazané väzbou x + y + z = 2p. Oblasť, na ktorej máme našu funkciu definovanú, je daná nerovnosťami x ³ 0, y ³ 0, x + y £ 2p. Riešením sú uhly x = y = z = 2p/3, teda hľadaný trojuholník je rovnostranný (zdôvodnite). Dĺžku jeho strany už ľahko nájdete.

Príklad. Akvárium tvaru kvádra má objem V. Aké majú byť jeho rozmery, aby povrch bol najmenší?

Riešenie. Ak označíme strany kvádra x, y, z, zrejme musíme hľadať viazaný extrém (minimum) funkcie S(x, y, z) = xy + 2xy + 2yz. Väzba je daná podmienkou V = xyz. Môžeme z nej vyjadriť jednu z premenných a hľadať tak lokálny extrém funkcie dvoch premenných. Minimálny povrch bude pri rozmeroch

Príklad. Ako lokálny extrém nájdite vzdialenosť bodu X[x, y] od priamky p: Ax + By + C = 0.

Riešenie. Nech je daný bod X[x, y], bod P[u; v] nech leží na priamke p. Vzdialenosť dvoch bodov d = |XP| vieme vypočítať pomocou vzorca známeho z analytickej geometrie. Kvôli zjednodušeniu budeme opäť uvažovať funkciu z = d². Keďže vzdialenosťou bodu od priamky nazývame jeho najkratšiu vzdialenosť od priamky, musíme hľadať viazané minimum funkcie

z(u, v) = (u - x)² + (v - y)²,

pričom väzba je daná rovnicou priamky Au + Bv + C = 0.

Viazané lokálne minimum táto funkcia nadobúda v bode

Aby sme dostali známy vzorec pre vzdialenosť bodu a priamky, musíme tieto súradnice dosadiť do vzorca pre vzdialenosť dvoch bodov. Potom máme:

Príklad. Fermatova veta (nutná podmienka na existenciu lokálneho extrému v bode, v ktorom je funkcia diferencovateľná) hovorí: Nech funkcia ¦(x, y) má lokálny extrém v bode A. Ak existuje diferenciál d¦(A), potom platí d¦(A) = 0.

Je táto podmienka aj postačujúca?

Riešenie. Uvedená podmienka nie je postačujúca. Majme totiž funkciu ¦(x, y) = xy. Nech A = [0; 0]. Ľahko overíme, že platí ¦¢_x(A) = 0 a taktiež ¦¢_y(A) = 0.

V bode A však funkcia ¦ nenadobúda lokálny extrém. Ak totiž zoberieme ľubovoľné sférické okolie S(A, d), potom v tomto okolí vždy existujú body, v ktorých ¦ nadobúda kladné hodnoty (tj. väčšie ako je funkčná hodnota v bode A), ale aj body, v ktorých ¦ nadobúda záporné hodnoty (tj. menšie ako je funkčná hodnota v bode A).

Nech B = [d/2; d/2], C = [– d/2; d/2]. Potom zrejme B, CÎS(A, d). Zároveň platí: ¦(B) > 0 = ¦(A) a súčasne ¦(C) < 0 =" ¦(A).

ZDROJ: matika.studnet.sk archived 5.6.2008