UKF Nitra - materiály, prednášky, skúšky, zápočtovky = www.studujes.sk: funkcia určená implicitne

Funkcia daná implicitne

Príklad. Prečo nie je rovnicou y² = x a bodom A[0; 0] určená jediná implicitná funkcia? Nájdite všetky takéto funkcie.

Riešenie. Nie je splnená podmienka F'_y(A) ¹ 0. Hľadanými funkciami sú

Príklad. Nájdite y', y'', y''' v bode A, ak je funkcia y daná implicitne rovnicou a bodom A

a) x² + xy + y² - 3 = 0, A[1; 1]; b) x² - 3xy + 4y² - 2x + 3y = 0, A[2; 0]; c) x^y = y^x, A[1; 1].

Riešenie. Hoci máme nájsť derivácie funkcie danej implicitne, najskôr musíme overiť, či funkcia y daná rovnicou F(x, y) = 0 a bodom A vôbec existuje. Musí teda platiť

(i) F(A) = 0, t.j. F(A) = [x² + xy + y² - 3]_A = 0;

(ii) F'_y(A) ¹ 0, t.j. F'_y(A) = [x + 2y]_A = 3 ¹ 0;

(iii) F(x, y) má spojité parciálne derivácie v okolí bodu A až do rádu n, tj. v našom prípade potrebujeme spojitosť parciálnych derivácií do tretieho rádu, čo je splnené.

Overili sme, že rovnicou F(x, y) = 0 a bodom A je implicitne daná nejaká funkcia y = f(x), ktorej derivácie máme vypočítať.

Máme dva možnosti:

1. Vieme naspamäť vzorce

(a tretí ešte zložitejší...), do ktorých stačí dosádzať príslušné derivácie v bode A.

2. Derivácie nájdeme postupným derivovaním rovnice F(x, y) = 0 podľa premennej x, pričom y = y(x) je funkcia premennej x. Ukážme tento postup na zadaní a:

Aby sme našli hodnoty derivácií v bode A, musíme ešte dosadiť jeho súradnice do príslušných výrazov.

Príklad. Nájdite parciálne derivácie prvého a druhého rádu funkcie z = z(x, y) určenej implicitne rovnicou

a) F(x, y, z) = x² + y² + z² - 2xyz - 4 = 0 a bodom A[0; 0; 2];

b) 4x² + 2y² - 3z² + xy - yz + x - 4 = 0, A[1; 1; 1];

c) x cos y + y cos z + z cos x = a, A[0; 0; a].

Riešenie. Opäť treba najskôr overiť, či je takto daná funkcia určená jednoznačne. Skontrolujte teda, že platí

F(A) = 0,

F´_z(A) ¹ 0,

parciálne derivácie F prvého a druhého rádu sú spojité na nejakom okolí bodu A.

Hľadané derivácie nájdeme opäť postupným derivovaním rovnice F(x, y, z) = 0.

Najskôr derivujme podľa premennej x, pričom z(x, y) je funkcia (aj) premennej x:

Ďalej nájdime druhú deriváciu z''_xx opätovným derivovaním poslednej rovnice podľa premennej x:

Zmiešanú deriváciu z''_xy nájdeme derivovaním rovnakej rovnice, avšak podľa premennej y, pričom samozrejme funkcie z a z'_x sú funkcie (aj) premennej y:

Overte ešte, že pre zostávajúce derivácie platí:

Príklad. Nájdite rovnicu dotyčnice a normály v bode A ku grafu funkcie určenej implicitne rovnicou a bodom:

a) xy + ln y - 1 = 0, A[1; 1]; b) x⁵ + y⁵ - 2xy = 0, A[1; 1]; c) y⁴ - 4x⁴ - 6xy = 0, A[1; 2].

Riešenie. Opäť najskôr overímei, že danou rovnicou a bodom je skutočne určená nejaká funkcia y = f(x). Označme súradnice bodu A[a; b] a danú rovnicu F(x, y) = 0. Potom pre rovnicu dotyčnice platí

Vzťah medzi smernicami dvoch kolmých priamok (dotyčnice a normály) poznáte z analytickej geometrie.

Príklad. Nájdite rovnicu dotykovej roviny a normály ku guľovej ploche x² + y² + z² = R² v jej bode T.

Riešenie. Nech bod T má súradnice T[a; b; c], rovnica plochy nech je F(x, y, z) = 0. Dotyková rovina tejto plochy v bode T má potom rovnicu

resp.

Rovnica normály na dotykovú rovinu v bode T má tvar

Príklad. Nájdite lokálne extrémy funkcie určenej implicitne rovnicou x² - 2xy + 2y² + 2x + 1 = 0 a bodom A[- 1; 0].

Riešenie. Potom, čo overíme, že danou rovnicou a bodom je jednoznačne určená funkcia y = f(x), môžeme hľadať stacionárne body tejto funkcie. Vypočítajme teda jej prvú deriváciu a položme ju rovnú nule:

Vidíme, že funkcia má extrémy v bodoch, ktoré spĺňajú podmienku

x - y + 1 = 0, resp. y = x + 1.

Keďže sú to body, ktoré ležia na danej krivke, ich x - ové súradnice dostaneme dosadením výrazu y = x + 1 do rovnice krivky. Riešením kvadratickej rovnice dostaneme

x = - 3 a x = - 1.

V týchto bodoch funkcia nadobúda nasledovné funkčné hodnoty:

y(- 3) = - 2 resp. y(- 1) = 0.

Označme teda B[- 3; - 2], C[- 1; 0]. Na určenie charakteru extrému potrebujeme aj druhú deriváciu funkcie, tj.