Taylorov (Maclaurinov) vzorec

Taylorov rozvoj funkcie viacerých premenných

Príklad. Napíšte Taylorov rozvoj funkcie v bode A po zvyšok R₃:

Riešenie. Stačí vypočítať príslušné diferenciály a dosadiť do Taylorovho rozvoja funkcie. Výsledok:

Príklad. Nájdite prírastok funkcie Df prislúchajúci zmene hodnôt argumenta z bodu A[1; -1] do bodu X[1 + h; -1 + k], ak funkcia f je daná predpisom f = x²y + xy² - 2xy.

Riešenie. Df = - h² + k² - 2hk + hk(h + k) - 3k - h.

Príklad. Zapíšte polynomickú funkciu a) z = 2x² - y³ + 3x + 1 pomocou mocnín výrazov x - 1 a y + 3; b) u = 2x² - xy - y² - 6x - 3y + 5 pomocou mocnín výrazov x - 1 a y + 2; c) w = x³ + y³ + z³ - 3xyz pomocou mocnín výrazov x - 1, y - 1 a z - 1;

Riešenie. Využite Taylorov rozvoj funkcie. Dostanete

Príklad. Aproximujte funkciu z = cos x cos y polynomickou funkciou druhého stupňa v okolí bodu O[0; 0].

Riešenie. Stačí nájsť Mclaurinov rozvoj rozvoj po zvyšok R₃:

Príklad. Aproximujte funkcie z = e^xsin y resp. z = x^y polynomickou funkciou tretieho stupňa v okolí bodu O[0; 0] resp. A[1; 1].

Riešenie. Napíšte Mclaurinov rozvoj po zvyšok R₄:

Príklad. Pomocou Mclaurinovho rozvoja aproximujte polynómom štvrtého stupňa funkciu

Riešenie. Opäť stačí len napísať Mclaurinov rozvoj funkcie f. Dostaneme

Príklad. Pomocou Taylorovho vzorca pre n = 2 nájdite približnú hodnotu čísla k:

(a) k = 1,05 ^3,02 (b) k = 0,96 ^2,02 (c)

Riešenie. Treba nájsť vhodnú funkciu a bod, v ktorom napíšeme Taylorov rozvoj. Výsledky: (a) k » 1,1585; (b) k » 0,9208; (c) k » 1,0006547.

ZDROJ: matika.studnet.sk archived 5.6.2008