parciálne derivácie a diferenciály vyšších rádov

Parciálne derivácie a diferenciály vyšších rádov funkcie viacerých premenných

Príklad. Nájdite všetky parciálne derivácie n - tého rádu funkcie u:

u = x²y + y³ Þ n = 2 u = y²e^x + x²y³ + 1 Þ n = 3 u = e^xysin z Þ n = 3

u = x³ - 4 x²y + 5y² Þ n = 2 u = e^x ln y + sin y ln x Þ n = 2

Riešenie. Riešenia opäť neuvádzame. Ak totiž viete nájsť derivácie prvého rádu, vypočítate aj deriváciu ľubovoľného rádu.

Príklad. Nájdite uvedenú deriváciu:

Príklad. Dokážte, že pre dané funkcie platí:

Riešenie. Stačí nájsť príslušné derivácie a potom ukázať, že platí aj uvedená rovnosť.

Príklad. Dokážte, že platí:

Poznámka. Parciálne derivácie sú rôzne, pretože nie sú spojité v bode O[0; 0]. Jednoduchší príklad funkcie s rovnakou vlastnosťou f(x, y) = |x|.

Príklad. Nájdite diferenciál n - tého rádu (resp. diferenciál v danom bode A):

Riešenie. Pre diferenciál k - teho rádu funkcie f viacerých premenných platí

Aby výraz napísaný na základe vyššie uvedeného pravidla bol skutočne diferenciálom k - teho rádu, všetky jeho parciálne derivácie rádu k musia byť spojité. Túto podmienku treba v riešení overiť!

Ako treba čítať uvedenú formulu? Namiesto zdĺhavého vysvetlenia uvedieme niekoľko príkladov diferenciálu k - teho rádu funkcie dvoch premenných f(x, y):

V prípade, že počítame diferenciál v nejakom konkrétnom bode A[x₀; y₀], musíme určiť hodnoty parciálnych derivácií v tomto bode. Pre diferenciály nezávislých premenných pritom platí dx = x - x₀ resp. dy = y - y₀.

ZDROJ: matika.studnet.sk archived 5.6.2008