funkcionálne rady, obory konvergencie

4.5. Funkcionálne rady

Príklad. Dokážte, že nasledovné funkcionálne rady konvergujú na danom intervale:

Riešenie. Pri riešení tejto úlohy využijeme Weierstrassove kritérium. N - tý člen majorantného konvergentného rady je uvedený v hranatých zátvorkách, konkrétny postup uvedieme na nasledovnom príklade:

Dokážte, že daný funkcionálny rad rovnomerne konverguje na intervale J:

Pre všetky reálne čísla z intervalu J platí

Konvergenciu tohto číselného radu overíme Cauchyho odmocninovým kritériom.

Majorantný číselný rad konverguje, a preto daný funkcionálny rad konverguje na intervale J rovnomerne a absolútne.

Môže sa stať, že majorantný číselný rad nevieme nájsť jednoduchým porovnávaním. Vtedy budú jeho členmi maximá jednotlivých funkcií (členov funkcionálneho radu), ktoré nájdeme postupom známym z diferenciálneho počtu funkcie jednej premennej. Ukážme to na nasledovnom príklade:

Dokážte konvergenciu funkcionálneho radu na intervale J:

Nájdime maximá jednotlivých funkcií u_n(x). Vypočítajme prvú deriváciu a položme ju rovnú nule.

Pomocou druhej derivácie (alebo zistením monotónnosti funkciu u_n) overíme, že v bode x_m nadobúda funkcia u_n globálne maximum. T. j. platí

Číselný rad

je konvergentný, keďže je to Riemannov rad pre p = 3/2. Potom - na základe Weierstrassovho kritéria - konverguje aj zadaný funkcionálny rad (rovnomerne a absolútne).

Príklad. Nájdite obory konvergencie funkcionálnych radov:

Riešenie. Uvedieme dve ukážky. Najskôr nájdeme obor konvergencie funkcionálneho radu

Nech x je ľubovoľné, ale pevne zvolené reálne číslo (t. j. pri nasledovnom výpočte sa bude správať ako konštanta). Tým z daného funkcionálneho radu dostávame číselný. Na vyšetrenie jeho konvergencie použijeme Cauchyho odmocninové kritérium. Potom:

Funkcionálny rad bude konvergovať len v tých reálnych číslach, v ktorých je výsledná hodnota počítanej limity menšia ako číslo 1. Teda riešením nerovnice

dostaneme "prvý odhad" oboru konvergencie:

Vieme však, že pomocou odmocninového kritéria nevieme rozhodnúť o konvergencii v bodoch, v ktorých je počítaná limita rovná práve číslu 1. Takže osobitne musíme vyšetriť konvergenciu nášho funkcionálneho radu v číslach, kde táto rovnosť nastala - t. j. v krajných bodoch intervalu M^*. Po dosadení máme:

Prvý číselný rad konverguje (podľa Leibnizovho kritéria), druhý diverguje (je to harmonický rad). Teraz sme už našli skutočný obor konvergencie, a síce interval

Podľa rovnakej myšlienky postupujeme aj v prípade, že pri vyšetrení konvergencie bude vhodnejšie použiť d´Alembertove kritérium. Ukážeme to na prípade funkcionálneho radu

Počítajme

Po dosadení hodnôt x = - 4, resp. x = 4 dostaneme divergujúce rady, takže hľadaný obor konvergencie je M^*.

ZDROJ: matika.studnet.sk archived 5.6.2008