kritériá konvergencie číselných radov

4.2. Kritériá konvergencie číselných radov

Veta (Porovnávacie kritérium). Nech sú dané dva nekonečné číselné rady s nezápornými členmi

Potom platí:

(a) ak je číselný rad (2) konvergentný, tak je konvergentný aj číselný rad (1);

(b) ak je číselný rad (1) divergentný, tak je divergentný aj číselný rad (2).

Poznámka. Pri porovnávaní sa často využívajú geometrické alebo Riemannove (Dirichletove) rady

Príklad. Vyšetrite konvergenciu číselných radov:

Riešenie. V zátvorke je uvedené, s ktorým radom je vhodné daný číselný rad porovnať, a takisto jeho konvergencia (K) či divergencia (D).

Veta (Podielový tvar porovnávacieho kritéria). Nech sú dané dva nekonečné číselné rady s kladnými členmi

Nech existuje limita

Potom oba rady súčasne buď konvergujú, alebo divergujú.

Príklad. Vyšetrite konvergenciu číselných radov:

Poznámka. Pomocou tohto kritéria sa často vyšetruje konvergencia číselných radov typu

kde P_r(n) je polynóm premennej n stupňa r a Q_s(n) je polynóm premennej n stupňa s. Číselný rad uvedeného tvaru porovnáme s radom

Príklad. Vyšetrite konvergenciu číselných radov:

Veta (D´Alembertovo limitné kritérium). Nech je daný nekonečný číselný rad s kladnými členmi

Potom platí: (a) ak d <>d > 1, daný rad diverguje.

Príklad. Vyšetrite konvergenciu číselných radov:

Veta (Cauchyho odmocninové kritérium). Nech je daný nekonečný číselný rad s kladnými členmi

Potom platí: (a) ak c <>c > 1, daný rad diverguje.

Príklad. Vyšetrite konvergenciu číselných radov:

Veta (Cauchyho integrálne kritérium). Nech existuje kladná spojitá funkcia f(x), ktorá je nerastúca pre všetky x ³ a a pre ktorú platí pre všetky x ³ a: u_n = f(n). Potom rad

a nevlastný integrál

súčasne buď konvergujú, alebo divergujú.

Príklad. Vyšetrite konvergenciu číselných radov:

(Dirichletov alebo Riemannov rad)

Veta (Raabeho limitné kritérium). Nech je daný nekonečný číselný rad s kladnými členmi

Potom platí: (a) ak r > 1, daný rad konverguje; (b) ak r <>

Príklad. Vyšetrite konvergenciu číselných radov:

Príklad. Ukážte, že porovnávacie kritérium neplatí, ak neuvažujeme len rady s nezápornými členmi.

Riešenie. Pomocou porovnávacieho kritéria dostaneme nesprávne výsledky ohľadom konvergencie, ak zoberieme napr. číselné rady

Príklad. Pomocou d´Alembertovho či Cauchyho kritéria nerozhodneme o konvergencii radu v prípade, že d = 1, resp. c = 1. Ukážte, že takéto číselné rady môžu konvergovať aj divergovať.

Riešenie. Ako príklad nám poslúžia číselné rady

Príklad. Nech je daná postupnosť a_n predpisom:

Dokážte, že potom pre n ® ¥ platí a_n ® 0.

Riešenie. Využite nutnú podmienku konvergencie nekonečného číselného radu.

ZDROJ: matika.studnet.sk archived 5.6.2008