Leibnizovo kritérium, absolútna konvergencia, súčin radov

4.3. Rady so striedavými znamienkami, súčin radov

Veta (Leibnizovo kritérium). Nech je daný rad so striedavými znamienkami

Tento rad je konvergentný práve vtedy, keď platí

Príklad. Vyšetrite konvergenciu radov:

Riešenie. Symbolom a sme označili limitu "z Leibnizovho kritéria", symboly RK (AK, resp. D) znamenajú relatívnu konvergenciu (absolútnu konvergenciu, resp. divergenciu) radu. Pri vyšetrovaní konvergencie môžeme použiť nasledovný postup:

Najskôr vyšetríme konvergenciu radu absolútnych hodnôt (to je už rad s nezápornými členmi, takže to môžeme urobiť pomocou už známych kritérií). Ak tento rad konverguje, potom konverguje aj rad so striedavými znamienkami - hovoríme, že daný rad je absolútne konvergentný.

Ak rad absolútnych hodnôt diverguje, vyšetríme konvergenciu daného radu so striedavými znamienkami - pomocou Leibnizovho kritéria. Ak limita a = 0, daný rad je relatívne konvergentný; ak a ¹ 0, daný rad so striedavými znamienkami je divergentný.

Príklad. Vyšetrite konvergenciu číselného radu

Riešenie. Tá „vec“ v exponente pri čísle –1 označuje celú časť z druhej odmocniny z n. Ak sa teraz trochu zamyslíme, zistíme, že tento číselný rad má prvé tri členy záporné, ďalších päť kladných, ďalších sedem záporných atď... Ak sčítame členy s rovnakým znamienkom vytvoriac člen a_k, dostaneme rad

tj. rad so striedavými znamienkami. Uvažujme výraz v hranatej zátvorke. Platí

Ohraničme prvých k, resp. posledných k + 1 členov. Dostávame

resp.

Odtiaľ máme

Pre členy a_k teda platí a₁ > a₂ > … > a_k > …, a taktiež platí

Podľa Leibnizovho kritéria je teda daný rad konvergentný.

Príklad. Odhadnite súčet radu s danou presnosťou:

Riešenie. V riešeniach sme uviedli približný súčet radu s (s danou chybou) a počet členov n, ktoré musíme sčítať.

Operácie s radmi

Príklad. Nájdite súčet nasledujúcich radov a rozhodnite o jeho konvergencii:

Príklad. Nájdite rozdiel nasledujúcich dvoch divergentných radov a rozhodnite o jeho konvergencii:

Príklad. Nájdite dva číselné rady, pre ktoré platí: (a) ich súčet diverguje, ich rozdiel konverguje; (b) ich rozdiel diverguje, súčet konverguje.

Príklad. Prezradím vám takúto vec – pre nasledovný súčet platí

Pomocou tohto faktu dokážte, že platí

Riešenie. Pohrajme sa trochu s druhým radom. Dostaneme

Ak to zapíšeme pomocou súm, máme

Odtiaľ už ľahko vyjadríme hľadaný súčet:

Príklad. Pre súčet štvrtých mocnín prevrátených hodnôt nepárnych čísel platí

Dokážte, že potom platí

Riešenie. Postupujme podobne ako v predošlom príklade. Dostávame

Veta (Riemannova). Nech je daný relatívne konvergentný nekonečný číselný rad. Potom:

(1) existuje také premiestnenie členov daného radu, že novo vzniknutý rad je divergentný;

(2) existuje také premiestnenie daného radu, že novo vzniknutý rad je konvergentný a jeho súčtom je ľubovoľné vopred zvolené reálne číslo.

Napr. Číselný rad

je zrejme relatívne konvergentný. Označme jeho súčet s. Vytvoríme také premiestnenie jeho členov, že novo vzniknutý rad bude mať súčet s/2.

Uvažujme rad

Označme postupnosť čiastočných súčtov pôvodného radu s_n, postupnosť čiastočných súčtov "nového" radu s_n´. Počítajme:

Potom pre limitu podpostupnosti s_3k´ platí

Ďalej platí

Využitím posledných troch limít dostávame

t. j. súčet radu, ktorý vznikol premiestnením pôvodného, je polovica z pôvodného súčtu.

"Pohrajme" sa s naším radom ešte raz - premiestnením jeho členov vytvoríme rad, ktorého súčet bude 3s/2. Postupujme takto:

vynásobíme daný rad číslom 1/2, potom bude zrejme jeho súčet s/2, t. j:

Napíšme si oba rady v tvare

Sčítaním týchto konvergentných radov získame rad, ktorého súčet bude 3s/2, a ktorý má tvar

Tento rad má však všetky členy pôvodného radu a žiadne iné (len sú v inom poradí).

Definícia (Cauchyho definícia súčinu radov). Nech sú dané dva nekonečné číselné rady

Ich súčinom nazývame rad

pre ktorého n - tý člen platí

T. j. pre súčin dvoch daných radov platí

Poznámka. Naznačíme pomôcku na výpočet členov c_n. Vytvorme tabuľku, ktorej záhlavie tvoria členy a_n a b_n jednotlivých číselných radov. Samotné polia našej tabuľky budú vyplnené súčinmi príslušných členov a_i, resp. b_j. Potom členy c_n dostaneme ako súčet prvkov na diagonálach tabuľky.

Pre členy radu, ktorý je súčinom dvoch daných radov potom platí

Príklad. Vynásobením radov dokážte, že platí:

Riešenie. Riešenia môžeme získať využitím "tabuľky" pre súčin radov - nájdeme prvý, druhý, tretí ... člen výsledného radu a následne odvodíme tvar n - tého člena súčinu.

Druhou možnosťou je počítať priamo so sumami, čo ukážeme na poslednom príklade.

Príklad. Nech sú dané funkcionálne rady

Dokážte, že platí

Príklad. Pre rady v predchádzajúcej úloha platí C(x) = cos x, S(x) = sin x. Vynásobením týchto radov dokážte, že platí:

a) sin² x + cos² x = 1; b) sin x cos x = (sin 2x)/2.

Poznámka. Súčin dvoch relatívne konvergentných radov môže byť rad divergentný:

Totiž, každý člen súčtu v zátvorke je väčší ako 1/n, preto |c_n| > 1.

Samozrejme, môžeme nájsť aj príklad, keď súčin dvoch relatívne konvergentných radov je rad konvergentný:

Rad, ktorého členy sme označili d_n, je rad so striedavými znamienkami a konverguje na základe Leibnizovho kritéria.

ZDROJ: matika.studnet.sk archived 5.6.2008