súčet nekonečného číselného radu, konvergencia radu

4 Nekonečné rady

4.1. Nekonečné číselné rady

Príklad. Dokážte, že pre nasledovné číselné rady platí:

Riešenie. Súčtom nekonečného číselného radu nazývame limitu postupnosti jeho čiastočných súčtov s_n, kde s_n = a₁ + a₂ + ... + a_n. Ak teda nájdeme vzorec pre n - tý člen tejto postupnosti, dostaneme súčet radu priamo výpočtom limity. Tento postup môžeme ukázať na výpočte súčtu teleskopického radu

Rozložme n - tý člen tohto radu na parciálne zlomky. Dostaneme

Napíšme niekoľko prvých členov tohto radu:

Členmi postupnosti čiastočných súčtov daného radu sú

Pre súčet radu potom platí

Inak postupujeme v prípade geometrického radu

Ak totiž pre kvocient q platí |q| <>

Príklad. Dokážte, že harmonický rad je divergentný.

Riešenie. Harmonický rad je nekonečný číselný rad tvaru

Jeho názov je odvodený z toho, že každý jeho člen (okrem prvého) je harmonickým priemerom jeho dvoch susedných členov, t. j. platí

V nasledujúcom ukážeme tromi spôsobmi, že harmonický rad je divergentný.

Dôkaz1. Napíšme niekoľko členov postupnosti čiastočných súčtov harmonického radu s_j , kde j = 2^m. Dostaneme

Vidíme, že pre súčet s harmonického radu platí

Teda harmonický rad diverguje.

Dôkaz 2. Ľahko nahliadnete, že platí

Potom ale zo známej vety pre určité integrály dostávame

a odtiaľ

Keďže číselný rad

je divergentný, z porovnávacieho kritéria vyplýva, že aj harmonický rad diverguje.

Dôkaz 3. Predpokladajme, že harmonický rad konverguje a jeho súčet je s. Pre n - tý člen postupnosti jeho čiastočných súčtov platí

Napíšme člen s_2n:

Zrejme platí

Po limitnom prechode dostávame

Dostali sme teda spor. Náš predpoklad neplatí, to znamená, že harmonický rad je divergentný.

Príklad. Dokážte, že nasledujúce rady divergujú:

Riešenie. Ukážte, že nie je splnená nutná podmienka konvergencie.

Príklad. Ukážte, že nutná podmienka konvergencie nie je postačujúcou podmienkou.

Riešenie. Ako kontrapríklad môžeme uviesť nekonečný číselný rad

Vyššie sme ukázali, že tento rad je divergentný, napriek tomu platí

Pr: Zapíšte ako zlomky periodické čísla

R. Využite, že platí

Preto

Podobne ukážte, že

Použiť sme však mohli aj takýto frajerský postup: označme znakom x = 0,222.... Potom zrejme platí 10 x = 2,222.... Odčítaním prvej rovnosti od druhej dostávame 9x = 2, resp. x = 2/9. A je to vybavené...

Pr: (1) Prezradíme takúto vec – pre nasledovný súčet platí

Pomocou tohto faktu dokážte, že platí

(2) Pre súčet štvrtých mocnín prevrátených hodnôt nepárnych čísel platí

Dokážte, že potom platí

R. (1) Pohrajme sa trochu so zadaným radom. Dostaneme takéto veci:

(2) Postupujme hádam až analogicky. Dostávame:

Pr: Prvý rozmach hodinového kyvadla je dlhý 1,5 m . Ak je každý nasledovný 99% predchádzajúceho, akú dráhu prejde kyvadlo?

R. Pre hľadanú dráhu platí (keďže naše super - hodiny zo zadania sa nikdy nezastavia) s = 1,5 + 1,5×0,99 + 1,5×0,99² + 1,5×0,99³ + ... = 150 m.

Pr: (a) Pacient musí užívať 100 mg lieku denne (trebárs na upokojenie počas olympiády). Jeho organizmus každý deň eliminuje 20% lieku. Odhadnite dlhodobú hladinu lieku v tele pacienta!

(b) Dlhodobá hladina lieku v organizme pacienta je 200 mg. Telo pacienta dokáže eliminovať každý deň 25% lieku. Aká je denná dávka?

R. (a) Prvý deň sa v tele pacienta nachádza 100 mg lieku.

Druhý deň je celková hladina lieku v tele 100 + 100×0,8 mg lieku (druhá dávka + zostatok z predošlého dňa).

Tretí deň je táto hladina 100 + (100 + 100×0,8)×0,8 = 100 + 100×0,8 + 100×0,8×0,8 mg... (prečo?).

N – tý deň je teda zrejme v tele pacienta 100 + 100×0,8 + 100×0,8² + ... + 100×0,8ⁿ mg lieku. Dlhodobá hladina tohto lieku v organizme S je potom S = 500 mg lieku.

(b) Označme dennú dávku lieku a. Potom z prvej časti vyplýva, že platí

ZDROJ: matika.studnet.sk archived 5.6.2008