limita funkcionálnej postupnosti, rovnomerná konvergencia

Funkcionálne postupnosti

Príklad. Nájdite obor konvergencie limitnej postupnosti funkcií a limitnú funkciu:

Riešenie. Riešenia sú v hranatých zátvorkách. Postup naznačíme v prípade funkcionálnej postupnosti

Pre limitnú funkciu f(x) funkcionálnej postupnosti f_n(x) zrejme platí

Počítajme túto limitu.

Vidíme, že funkcionálna postupnosť f_n(x) nekonverguje vo všetkých reálnych číslach. Zistili sme, že limitná funkcia je daná predpisom

a oborom konvergencie je polouzavretý interval

Príklad. Zistite, či daná funkcionálna postupnosť rovnomerne konverguje na danom intervale:

Riešenie. Riešenia sú opäť uvedené, urobíme dve ukážky. Najskôr dokážeme, že vo všetkých reálnych číslach rovnomerne konverguje funkcionálna postupnosť

Napíšme definíciu rovnomernej konvergencie:

Opäť potrebujeme aj limitnú funkciu, tú však už vieme vypočítať. Platí f(x) = 0. Potom ohraničujeme rozdiel v absolútnej hodnote:

Vidíme, že daný rozdiel môžeme ľubovoľne zmenšovať. Položme teda

Potom určite platí

tj. definícia rovnomernej konvergencie je splnená.

Ešte uvedieme príklad funkcionálnej postupnosti, ktorá konverguje na intervale J len bodovo. Uvažujme postupnosť

Ľahko nájdeme limitnú postupnosť f(x) = 0. Snažme sa teraz ohraničovať rozdiel | f_n - f |. Dostávame

Zvoľme

Potom by malo platiť

Teda by mala byť splnená podmienka

Posledná nerovnosť však určite neplatí. Dostali sme spor, daná funkcionálna postupnosť teda nekonverguje rovnomerne.

ZDROJ: matika.studnet.sk archived 5.6.2008