UKF Nitra - materiály, prednášky, skúšky, zápočtovky = www.studujes.sk: lineárna DR n

Lineárne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi

Najskôr sa zaoberajme DR druhého rádu bez pravej strany.

Nech je teda daná DR tvaru

Predpokladáme, že riešením sú funkcie typu

Potom zrejme platí

Po dosadení do DR (*) dostávame

Táto rovnosť je splnená v prípade, že výraz v zátvorke je rovný nule. Tj. musíme riešiť kvadratickú rovnicu

s neznámou k. Rozoberme tri prípady, ktoré môžu nastať:

(1) Kvadratická rovnica (**) má dva rôzne reálne korene r a s. Všeobecné riešenie DR (*) má potom tvar

(2) Kvadratická rovnica (**) má jeden dvojnásobný reálny koreň t. Všeobecné riešenie DR (*) má potom tvar

(3) Kvadratická rovnica (**) má dva komplexné korene a ± bi. Všeobecné riešenie DR (*) má potom tvar

Tieto tri body, ktoré sú uvedené bez dôkazov, postačia k vyriešeniu akejkoľvek DR druhého rádu s konštantnými koeficientami bez pravej strany.

Ešte doplníme, že rovnicu (**) nazývame charakteristická rovnica DR (*).

Príklad. Nájdite všeobecné riešenie daných DR:

Ak už vieme riešiť DR typu (*), môžeme riešiť aj DR druhého rádu s konštantnými koeficientami s pravou stranou, tj. DR typu

Metóda na riešenie týchto DR (ktorá sa používa aj u DR vyšších rádov) sa nazýva Lagrangeova metóda variácie konštánt. Jej prvým krokom je vyriešenie DR (*), tj. príslušnej DR bez pravej strany. Túto problematiku sme už vysvetlili vyššie. Predpokladajme teda, že funkcia

je riešením DR (*).

Ďalej variujeme konštanty c a k, tj. nahradíme ich funkciami C = C(x) resp. K = K(x). Dostávame funkciu

Pre jej deriváciu platí

Aby sme dostali riešenie v čo najjednoduchšom tvare, na túto deriváciu môžeme klásť dodatočné podmienky (ktoré samozrejme nesmú odporovať zadaniu úlohy). Tou dodatočnou podmienkou je rovnosť

Po splnení tejto podmienky má prvá derivácia tvar

a pre druhú deriváciu funkcie y platí

Dosaďme y´ a y´´ do DR (***). Po úprave dostaneme

Vzhľadom na to, že funkcie y₁ resp. y₂ sú riešením DR (*), obe zátvorky sú rovné nule. Takže dostávame ďalšiu podmienku

Zo sústavy rovníc (&) a (&&) nájdeme pomocou Crammerových vzorcov neznáme derivácie C´ resp. K´. Integrovaním potom získame hľadané funkcie C(x) a K(x):

Dosadením týchto výrazov do (#) dostaneme všeobecné riešenie DR (***).

Na záver pridáme terminologickú poznámku - determinant

nazývame Wronského determinant alebo wronskián.

Príklad. Riešte DR:

Riešenie. Hoci postup je vyššie uvedený - a čitateľ s jeho pomocou vyrieši akúkoľvek DR druhého rádu s konštantnými koeficientmi - ukážeme aj jeho uplatnenie na konkrétnom príklade. Nájdime teda riešenie DR

Riešením príslušnej DR bez pravej strany je funkcia y = c cos x + k sin x. Položme teraz c = C(x) a k = K(x). Riešenie danej DR bude mať tvar y = C(x) cos x + K(x) sin x. Nájdime neznáme funkcie C resp. K.