mocninné (potenčné) rady, základné vety o konvergencii

4.6. Mocninové (potenčné) rady

Príklad. Nájdite obory konvergencie mocninových radov:

Riešenie. Keďže potenčné rady sú špeciálnym prípadom funkcionálnych radov, mohli by sme pri hľadaní oboru konvergencie postupovať rovnako - využili by sme Cauchyho alebo d´Alembertovo kritérium, následne riešime takto získanú nerovnicu a nájdeme obor konvergencie.

Zvolíme však iný prístup. Zo všeobecného zápisu funcionálneho radu

vieme zistiť stred radu x₀, aj polomer konvergencie r. Totiž

Oborom konvergencie (na ktorom daný mocninový rad konverguje aj rovnomerne) je potom interval M = (x₀ - r ; x₀ + r). Konvergenciu v koncových bodoch tohto intervalu x₀ - r, resp. x₀ + r musíme opäť vyšetriť osobitne.

Popísaný postup ukážeme na mocninovom rade

Platí:

(M^* je interval konvergencie)

Ďalej

Posledné dva rady sú tiež konvergentné (o čom sa môžeme presvedčiť pomocou Leibnizovho, resp. Cauchyho integrálneho kritéria), takže výsledným oborom konvergencie je interval

Príklad. Podľa Abelovej vety mocninový (potenčný) rad

môže konvergovať na množine R, alebo len na istom intervale, alebo len vo svojom strede. Nájdite príklady na každú z uvedených možností.

Riešenie. Pre obory konvergencie M nasledovných funkcionálnych radov platí:

Príklad. Dokážte, že pre súčty nasledujúcich radov platí:

Riešenie. Výpočet súčtu daných funkcionálnych radov urobíme využitím viet o zameniteľnosti sumácie a derivácie, resp. integrácie. Ukážme to na konkrétnom prípade - nájdime súčet funkcionálneho radu

Vidíme, že výraz za sumou dostaneme deriváciou funkcie u_n(x) = 2^{n - 1}xⁿ. Aby sme vetu o zameniteľnosti sumácie a derivácie mohli použiť, musíme overiť, či sú splnené jej predpoklady:

(1) každá funkcia u_n(x) má na "nejakom" intervale (a; b) prvú deriváciu - toto zrejme platí;

(2) funkcionálny rad, ktorého členmi sú funkcie u_n(x) by mal konvergovať v aspoň jednom bode z intervalu (a; b) - zrejme konverguje pre x = 0;

(3) funkcionálny rad, ktorého členmi sú funkcie u_n´(x) by mal rovnomerne konvergovať na "nejakom" intervale (a; b) - keďže ide o mocninový rad, nám už známymi postupmi zistíme, že "nejakým" intervalom (a; b) je práve obor konvergencie tohto radu, t. j. interval M = (-0,5; 0,5) (pričom v oboch krajných bodoch tento rad diverguje).

Potom na základe spomínanej vety na intervale M platí:

Analogicky budeme postupovať v druhom prípade - využijeme vetu o zameniteľnosti sumácie a integrácie. Zoberme si za úlohu nájsť súčet funkcionálneho radu

V úvode si opäť musíme položiť otázku, ako možno získať výraz za sumou - derivovaním či integrovaním nejakej funkcie? Vidíme, že funkcia U_n(x) = (x + 1)ⁿ / (3ⁿ n) je primitívnou funkciou k funkcii u_n(x) = (x + 1)^{n - 1} / 3ⁿ. Vo výpočte teda využijeme, ako sme už naznačili, vetu o zameniteľnosti sumácie a integrácie. Overme, či sú splnené jej predpoklady:

(1) funkcie u_n(x) majú na "nejakom" intervale J primitívne funkcie - táto podmienka je splnená;

(2) funkcionálny rad, ktorého členmi sú funkcie U_n(x) konverguje aspoň v jednom bode intervalu J - daný rad zrejme konverguje pre x = - 1;

(3) funkcionálny rad, ktorého členmi sú funkcie U_n´(x) = u_n(x) rovnomerne konverguje na "nejakom" intervale J - keďže opäť ide o potenčný rad, ľahko nájdete jeho obor konvergencie, potom J = M = (- 4; 2).

Potom môžeme písať:

Ešte treba nájsť integračnú konštantu. Zvolíme teda také x, pre ktoré ľahko určíme súčet daného radu a dosadíme do práve získanej rovnosti. Zrejme je rozumné položiť hodnotu x = - 1. Potom

Potom na celom intervale J pre súčet daného funkcionálneho radu platí

Príklad. Vypočítajte integrál

Riešenie. Určite ste už počuli pojem geometrický rad. Dokonca viete aj vzorec na výpočet súčtu geometrického radu. Ak ho trochu obrátim, dovolím si tvrdiť, že platí

Teda môžem písať

Nevlastné integrály už trochu počítať vieme, takže nie je problém zistiť, že

Trojnásobným derivovaním tejto rovnosti podľa n dostaneme

Preto platí

Voľakedy dávno sme totiž v jednom z príkladov dokázali, že platí

Príklad. Dokážte, že pre súčty daných radov platí:

Riešenie. Ako postupujeme, ukážem pri hľadaní súčtu radu

Vidíme, že máme daný nekonečný číselný rad. Napriek tomu budeme pri hľadaní jeho súčtu potrebovať poznatky o funkcionálnych radoch. Naša stratégia bude totiž nasledovná:

(i) nájdeme funkcionálny rad, ktorého členy sú zhodné s členmi daného číselného radu pre istú konkrétnu hodnotu x₀;

(ii) pomocou viet o zameniteľnosti sumácie a derivácie (integrácie) nájdeme súčet nášho pomocného funkcionálneho radu, jeho súčtom je nejaká funkcia f;

(iii) zistíme funkčnú hodnotu funkcie f v bode x₀, a tým dostaneme hľadaný súčet číselného radu.

"Pomocný" funkcionálny rad v našom prípade bude mať tvar

(vyberieme ho tak, aby sme mohli ľahko nájsť jeho súčet - napr. pomocou spomenutých viet). Tento rad nadobúda hodnoty daného číselného radu pre x₀ = 1. Nájdime jeho súčet (analogicky ako v predošlých príkladoch):

Súčet nášho číselného radu získame, ak dosadíme za x hodnotu x₀ = 1. Potom

Príklad. Dokážte, že pre funkciu f danú nasledovným predpisom platí:

Riešenie. Ľubovoľná funkcia F je konštantná, ak je jej derivácia rovná nule - tento fakt sa budeme snažiť dokázať. Pre deriváciu funkcie f platí

Pre deriváciu funkcie F zase platí

Po dosadení ľahko nahliadneme, že pre všetky reálne čísla platí F´(x) = 0, t. j. F(x) je konštantná funkcia. Hodnotu tejto konštanty môžeme dostať dosadením ľubovoľného vhodného čísla. Nech teda x = 1, potom

ZDROJ: matika.studnet.sk archived 5.6.2008