Taylorove rady

2.7. Taylorove (Maclaurinove) rady

Príklad: Dokážte, že Maclaurinove rady funkcií e^x, sin x, resp. cos x majú nasledovný tvar

Riešenie. Ak má funkcia f na istom intervale J derivácie až do n - tého rádu, potom pre všetky čísla x z tohto intervalu platí Taylorov vzorec:

Ak položíme a = 0, hovoríme o Maclaurinovom vzorci. Rozvoje daných elementárnych funkcií dostanete teda jednoduchým derivovaním a dosadením a = 0. Keďže všetky derivácie uvedených funkcií sú rovnomerne ohraničené, t. j. existuje také číslo K, že pre všetky xÎJ platí

| f ⁽ⁿ⁾(x)| £ K,

tak uvedené číselné rady skutočne konvergujú k jednotlivým funkciám (uvážte, že pre všetky reálne čísla).

Iné zdôvodnenie: získali sme Taylorove rady

Tieto rady konvergujú k daným funkciám len pre tie čísla x, pre ktoré platí

Vo veľa prípadoch je však množina týchto čísel totožná s oborom konvergencie jednotlivých mocninových radov. Čitateľ môže teda overiť, že všetky tri funkcionálne rady konvergujú v každom reálnom čísle.

Poznámka. Vzťah

sa zvykne označovať ako najkrajšia formula matematiky. Je to špeciálny prípad rovnosti

,

ktorú si môžeme ľahko odvodiť. Stačí totiž v Maclaurinovom rade funkcie e^x položiť x = iz, kde i - imaginárna jednotka.

Ďalej môžme odvodiť vzťahy:

Príklad. Rozviňte funkcie y = e^x sin x, resp. y = cosh x podľa mocnín x.

Riešenie. Nájdite Maclaurinov rad funkcie y. Dostanete

Oborom konvergencie je množina reálnych čísel.

Príklad. Rozviňte funkciu a) y = ln (x + 2) podľa mocnín x - 1; b) y = 1/x podľa mocnín x + 2.

Riešenie. a) Nájdite Taylorov rad funkcie y v bode a = 1. Dostaneme

Oborom konvergencie je interval J = (-2; 4).

b) Nájdite Taylorov rozvoj funkcie y v bode a = - 2. Dostaneme

Oborom konvergencie je interval J = (- 4; 0).

Príklad. Nájdite Maclaurinove rozvoje funkcií y = (1 + x)^m, resp. y = ln (1 + x).

Riešenie. Ľahko overíte, že platí

Oborom konvergencie oboch radov je interval J = (-1; 1).

Príklad. Nájdite Maclaurinov rozvoj funkcie f, ak

Riešenie. Využijeme už známy rozvoj funkcie e^x. Odtiaľ totiž máme

Potom platí

Uvedené rady konvergujú v každom reálnom čísle.

Príklad. Nájdite Maclaurinov rozvoj funkcie g, ak

Riešenie. Keďže platí

dostávame

a potom

Oborom konvergencie je interval J = (-1; 1).

Príklad. Nájdite Maclaurinove rozvoje funkcií h, resp. u, ak

Riešenie. Najskôr využime pravidlá pre počítanie s logaritmami. Dostaneme

Ďalej máme

Preto platí

Oborom konvergencie je interval J = (-1/2; 1/2).

Pre funkciu u dostávame

Oborom konvergencie je interval J = (-1/2; 1/2ñ.

Príklad. Pomocou rozvoja funkcie e^x nájdite Maclaurinove rady funkcií sinh x a cosh x.

Riešenie. Rad pre funkciu e^x sme uviedli už vyššie, definície hyperbolických funkcií poznáte. Zistíme, že pre všetky reálne čísla platí

Príklad. Nájdite Maclaurinov rad funkcie

Riešenie. Postupným derivovaním dostávame s¢(0) = 1; s¢¢(0) = 2; s¢¢¢(0) = 6; ... s⁽ⁿ⁾(0) = n!...

Tj. platí s(x) = 1 + x + x² + x³ + ...; kde J = (-1; 1).

Rad tejto funkcie zrejme poznáme „z druhej strany“, tj. ako vzorec pre súčet nekonečného geometrického radu. Ukážme ešte iný spôsob, ako možno nájsť vzorec pre súčet nekonečného geometrického radu

Označme súčet tohto radu S. Zrejme platí

Odčítaním týchto rovností dostávame (pre |q| <>

Príklad. Dokážte, že platí Oresmeho veta:

Riešenie. Pre súčet nekonečného geometrického radu platí

Zderivovaním tejto rovnosti dostávame

Ak položíme v tomto vzťahu x = 1/2, dostaneme Oresmeho vzorec.

Príklad. Pomocou Maclaurinových radov vypočítajte limity

Riešenie. Najskôr nájdeme známym postupom Maclaurinove rady funkcií sin x, ln(1 + x), exp(–x²). Potom:

ZDROJ: matika.studnet.sk archived 5.6.2008