UKF Nitra - materiály, prednášky, skúšky, zápočtovky = www.studujes.sk: zníženie rádu DR

Zníženie rádu diferenciálnej rovnice

1. DR typu y⁽ⁿ⁾ = f(x)

Postup pri riešení:

Hľadanú funkciu y(x) dostaneme n - násobným derivovaním danej DR. Tj. postupne dostávame:

Príklad. Nájdite všeobecné riešenie DR:

Riešenie. Postupným integrovaním dostávame:

Príklad. Riešte DR:

2. DR typu F(x, y⁽^k), y⁽^{k + 1)}... y⁽ⁿ⁾) = 0

Postup pri riešení:

Použijeme substitúciu z = z(x) = y⁽^k). Potom platí y^(k) = z´, y^(k) = z´´ ... y^(k) = z⁽^{n - k)}.

Týmto spôsobom znížime rád danej DR na n - k. Po jej vyriešení dostaneme funkciu z(x), ktorú musíme ešte k - krát zintegrovať, aby sme získali hľadané riešenie, funkciu y(x).

Príklad. Nájdite všeobecné riešenie DR

Riešenie. Postupujme podľa vyššie uvedeného návodu. Položme substitúciu z = y´´. Potom z´ = y´´´ a dostávame DR

Ak ju vynásobíme výrazom 1/x, zistíme, že ide o lineárnu DR

Riešme ju Eulerovou metódou (metódou integračného faktora).

Dostali sme funkciu z(x), pre ktorú platí z = y´´. Potrebujeme však nájsť funkciu y(x), preto pokračujeme integrovaním.

(kde všetky konštanty sú ľubovoľné reálne čísla).

Príklad. Riešte DR:

3. DR typu F(y, y´, y´´... y⁽ⁿ⁾) = 0

Postup pri riešení:

V danej DR zavedieme novú nezávislú premennú u = y a novú závislú premennú - funkciu z = z(u) = y´. Potom pre derivácie vyšších rádov funkcie y platí:

Tieto výrazy dosadíme do danej DR - tým znížime jej rád o jeden stupeň. Ak nájdeme jej riešenie z(u), integrovaním dostaneme hľadanú funkciu y(x), ktorá je riešením pôvodnej DR.

Príklad. Nájdite všeobecné riešenie DR